DUbbi limiti
Buon pomeriggio a tutti ragazzi, ho dei dubbi su due esercizi che ho svolto:
1) $ lim x->1(e^x-e)/(1-cos(x-2)) = (e^(x-1) - 1)/(1-cos(x-2)) * x/x = -2e $
col risultato mi trovo ma il procedimento non credo sia giusto;
Ecco la seconda:
2) $ lim x->+oo (2^(1/x^2) - 3^(1/x^2))/log(1+1/x^2) = (2^(1/x^2) - 3^(1/x^2))/log(1+1/x^2) * (1/x^2)/(1/x^2) = -log(3/2) $
il risultato è quello però non mi spiego come venga visto che il limite notevole che uso dovrebbe restituire diversamente: nel senso com'è che l'argomento del logaritmo è 3/2? E poi da dove spunta quel segno meno di fronte al logaritmo?
Grazieee
1) $ lim x->1(e^x-e)/(1-cos(x-2)) = (e^(x-1) - 1)/(1-cos(x-2)) * x/x = -2e $
col risultato mi trovo ma il procedimento non credo sia giusto;
Ecco la seconda:
2) $ lim x->+oo (2^(1/x^2) - 3^(1/x^2))/log(1+1/x^2) = (2^(1/x^2) - 3^(1/x^2))/log(1+1/x^2) * (1/x^2)/(1/x^2) = -log(3/2) $
il risultato è quello però non mi spiego come venga visto che il limite notevole che uso dovrebbe restituire diversamente: nel senso com'è che l'argomento del logaritmo è 3/2? E poi da dove spunta quel segno meno di fronte al logaritmo?
Grazieee
Risposte
Ciao giulio0,
Se il testo è quello, è sbagliato anche il risultato che è $0$...
Il sospetto è che l'errore sia nell'argomento del coseno, che potrebbe essere $(x - 1)$: ma in tal caso il limite non esiste, mentre invece se $x \to 1^+$ il limite vale $+infty$, se $x \to 1^- $ il limite vale $-infty $
Per quanto riguarda il secondo limite proposto, dopo aver raccolto un $2^{1/x^2} $ e cambiato di segno basta fare uso dei due limiti notevoli seguenti:
$lim_{f(x) \to 0} frac{a^{f(x)} - 1}{f(x)} = ln(a) $
$ lim_{f(x) \to 0} frac{ln[1 + f(x)]}{f(x)} = 1 $
"giulio0":
col risultato mi trovo ma il procedimento non credo sia giusto;
Se il testo è quello, è sbagliato anche il risultato che è $0$...
Il sospetto è che l'errore sia nell'argomento del coseno, che potrebbe essere $(x - 1)$: ma in tal caso il limite non esiste, mentre invece se $x \to 1^+$ il limite vale $+infty$, se $x \to 1^- $ il limite vale $-infty $
Per quanto riguarda il secondo limite proposto, dopo aver raccolto un $2^{1/x^2} $ e cambiato di segno basta fare uso dei due limiti notevoli seguenti:
$lim_{f(x) \to 0} frac{a^{f(x)} - 1}{f(x)} = ln(a) $
$ lim_{f(x) \to 0} frac{ln[1 + f(x)]}{f(x)} = 1 $
Sul primo limite mi trovo con i risultati di pilloeffe.
Con il secondo limite trovo $0$: moltiplicando e dividendo per $1/x^2$, al denominatore ho $1$ e al numeratore $0$. Vi torna?
Con il secondo limite trovo $0$: moltiplicando e dividendo per $1/x^2$, al denominatore ho $1$ e al numeratore $0$. Vi torna?
Ciao AnalisiZero,
No, non mi torna...
Si ha:
$ lim_{x \to +\infty} (2^(1/x^2) - 3^(1/x^2))/log(1+1/x^2) = lim_{x \to +\infty} (2^(1/x^2)[1 - (3/2)^(1/x^2)])/log(1+1/x^2) = - lim_{x \to +\infty} 2^{1/x^2} \cdot frac{(3/2)^(1/x^2) - 1}{log(1+1/x^2)} = $
$ = - lim_{x \to +\infty} 2^{1/x^2} \cdot frac{(3/2)^(1/x^2) - 1}{1/x^2} \cdot frac{1/x^2}{log(1+1/x^2)} = - lim_{x \to +\infty} 2^{1/x^2} \cdot frac{(3/2)^(1/x^2) - 1}{1/x^2} \cdot frac{1}{frac{log(1+1/x^2)}{1/x^2}} = $
$ = - 1 \cdot log(3/2) \cdot frac{1}{1} = - log(3/2) $
ove si intende che $log = log_{e} = ln $.
"AnalisiZero":
Vi torna?
No, non mi torna...
Si ha:
$ lim_{x \to +\infty} (2^(1/x^2) - 3^(1/x^2))/log(1+1/x^2) = lim_{x \to +\infty} (2^(1/x^2)[1 - (3/2)^(1/x^2)])/log(1+1/x^2) = - lim_{x \to +\infty} 2^{1/x^2} \cdot frac{(3/2)^(1/x^2) - 1}{log(1+1/x^2)} = $
$ = - lim_{x \to +\infty} 2^{1/x^2} \cdot frac{(3/2)^(1/x^2) - 1}{1/x^2} \cdot frac{1/x^2}{log(1+1/x^2)} = - lim_{x \to +\infty} 2^{1/x^2} \cdot frac{(3/2)^(1/x^2) - 1}{1/x^2} \cdot frac{1}{frac{log(1+1/x^2)}{1/x^2}} = $
$ = - 1 \cdot log(3/2) \cdot frac{1}{1} = - log(3/2) $
ove si intende che $log = log_{e} = ln $.
Scusate la prima è tutt'altra cosa non so dove sia uscita quella, ecco quella giusta:
1)
\( lim x->1 (e^x-e)/(\surd [(1+(1-x)]-1) \)
fino alla quadra è sotto radice quadrata. Potreste ricontrollare guardando questa grazie
$ limx→+∞(2^(1/x^2)- 3^(1/x^2))/log(1+1/x^2)*(1/x^2)/(1/x^2) =(2^(1/x^2)*(1- 3/2^(1/x^2)))/log(1+1/x^2) $
Avrei dovuto fare in questo modo? Ma la mia a^f(x) quindi è 3/2^(1/x^2) giusto?
1)
\( lim x->1 (e^x-e)/(\surd [(1+(1-x)]-1) \)
fino alla quadra è sotto radice quadrata. Potreste ricontrollare guardando questa grazie
$ limx→+∞(2^(1/x^2)- 3^(1/x^2))/log(1+1/x^2)*(1/x^2)/(1/x^2) =(2^(1/x^2)*(1- 3/2^(1/x^2)))/log(1+1/x^2) $
Avrei dovuto fare in questo modo? Ma la mia a^f(x) quindi è 3/2^(1/x^2) giusto?
"pilloeffe":
Ciao AnalisiZero,
[quote="AnalisiZero"]Vi torna
No, non mi torna...
Si ha:
$ lim_{x \to +\infty} (2^(1/x^2) - 3^(1/x^2))/log(1+1/x^2) = lim_{x \to +\infty} (2^(1/x^2)[1 - (3/2)^(1/x^2)])/log(1+1/x^2) = - lim_{x \to +\infty} 2^{1/x^2} \cdot frac{(3/2)^(1/x^2) - 1}{log(1+1/x^2)} = $
$ = - lim_{x \to +\infty} 2^{1/x^2} \cdot frac{(3/2)^(1/x^2) - 1}{1/x^2} \cdot frac{1/x^2}{log(1+1/x^2)} = - lim_{x \to +\infty} 2^{1/x^2} \cdot frac{(3/2)^(1/x^2) - 1}{1/x^2} \cdot frac{1}{frac{log(1+1/x^2)}{1/x^2}} = $
$ = - 1 \cdot log(3/2) \cdot frac{1}{1} = - log(3/2) $
ove si intende che $log = log_{e} = ln $.[/quote]
Interessante: ma non ho capito l'ultimo passaggio:
$ 2^(1/x^2) $
non va moltiplicato per il risultato del limite notevole, venendo così:
$ 2^(1/x^2)* - log(3/2) $
"giulio0":
$2^{1/x^2} $ non va moltiplicato per il risultato del limite notevole
giulio0... Se $x \to +\infty \implies 1/x^2 \to 0 \implies 2^{1/x^2} \to 1 $
È chiaro, anziché per $1/x^2$ avrei dovuto moltiplicare e dividere per $x^2$, ma non mi sarei liberato della forma indeterminata. La via giusta è quella di pilloeffe.
controllare,usando la definizione di limite, che $ lim x->6 (1/(x-1)^2) = 1/25 $
come lo svolgo?
come lo svolgo?
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