Dubbi limite taylor

[domenico-fiamma-8]

$ lim x->0 ( (senx)^(2) - sen(x^(2)) ) / ( log( 2 - (senx)/x) )$

Ho alcuni dubbi : siccome il limite ha come risultato 0 (controllato su internet), il numeratore deve per forza di cosa essere 0.
Quindi questo vuol dire che gli sviluppi devono elidersi?
Esempio : io ho svolto così $(senx)^2 = (x + o(x))^2$ e $sen(x^(2)) = x^2 + o(x^2)$. E' fatto bene?

[Berationalgetreal]

Ho alcuni dubbi : siccome il limite ha come risultato 0 (controllato su internet), il numeratore deve per forza di cosa essere 0.

È un nuovo teorema? Quindi un limite come:

\[ \lim_{n \to + \infty} { \frac{1}{n} } \]

Non può essere \( 0 \) perché il numeratore non tende a \(0\)?

[domenico-fiamma-8]

"Berationalgetreal":

Ho alcuni dubbi : siccome il limite ha come risultato 0 (controllato su internet), il numeratore deve per forza di cosa essere 0.

È un nuovo teorema? Quindi un limite come:

\[ \lim_{n \to + \infty} { \frac{1}{n} } \]

Non può essere \( 0 \) perché il numeratore non tende a \(0\)?

Sicuramente hai ragione, allora forse ho sbagliato io

[domenico-fiamma-8]

"Berationalgetreal":

Ho alcuni dubbi : siccome il limite ha come risultato 0 (controllato su internet), il numeratore deve per forza di cosa essere 0.

È un nuovo teorema? Quindi un limite come:

\[ \lim_{n \to + \infty} { \frac{1}{n} } \]

Non può essere \( 0 \) perché il numeratore non tende a \(0\)?

Purtroppo non riesco a continuarlo, mi puoi dare un aiuto?

[francicko]

Qui servono gli sviluppi in serie di Taylor :
$sin^2 (x)=x^2-x^4/3+o (x^4) $
$sin (x^2)=x^2-x^6/6+o (x^6)$
$log(2-sinx/x)=log (1+(1-sinx/x))=log (1+(x-sinx)/x)$
$x-sinx =x^3/6+o (x^3) $
Sostituendo il limite diventa:
$lim _(x->0)(x^4/3+o(x^4))/log (1+x^2/6) $ $=lim_(x->0)(x^4/3)/(x^2/6)=0$
Gli sviluppi delle funzioni seno a numeratore vanno effettuati oltre il primo termine $x^2$ che nella differenza viene ad elidersi e pertanto entrano in gioco i termini successivi.

[domenico-fiamma-8]

"francicko":Qui servono gli sviluppi in serie di Taylor :
$sin^2 (x)=x^2-x^4/3+o (x^4) $
$sin (x^2)=x^2-x^6/6+o (x^6)$
$log(2-sinx/x)=log (1+(1-sinx/x))=log (1+(x-sinx)/x)$
$x-sinx =x^3/6+o (x^3) $
Sostituendo il limite diventa:
$lim _(x->0)(x^4/3+o(x^4))/log (1+x^2/6) $ $=lim_(x->0)(x^4/3)/(x^2/6)=0$
Gli sviluppi delle funzioni seno a numeratore vanno effettuati oltre il primo termine $x^2$ che nella differenza viene ad elidersi e pertanto entrano in gioco i termini successivi.

Perfetto grazie mille, un'ultima richiesta : l'o piccolo nell'argomento del logaritmo io mi trovo che è un $o(x^2)$ perchè $o(x^3)/x$

[francicko]

Sì esatto $log (1+(x^3/6+o (x^3)))/x=log (1+x^3/6+o (x^2))~~x^3/6 $