Dubbi funzioni razionali

[Sk_Anonymous]

Buondì,sono alle prese con le funzioni razionali,diciamo che riesco a cavarmela in parecchi esercizi ma ho ancora dei dubbi abbastanza pesanti,ad esempio non ho chiara una cosa,il denominatore deve essere fattorizzato fino a che grado? ovvero se mi trovo per esempio una funzione di un certo genere in cui c'è una moltiplicazione tra due polinomi,e uno è (x^2-1) se per caso mi dimentico di fattorizzarlo e quindi scrivo una frazione parziale (A+bx)/(X^2-1),oltre che complicarmi l'esercizio sbaglio proprio? in genere la mia domanda penso si possa generalizzare(non sono sicuro) dicendo visto e considerato che sò integrare una funzione del tipo (D+Rx)/(ax^2+bx+c) potrei eventualmente non scomporre completamente i polinomi?

[_prime_number]

Devi scomporre completamente il denominatore, o rischi di non arrivare da nessuna parte o fare errori. Esempio:
(metodo sbagliato) $2/(x^2-1)=A/(x^2-1) + (Bx/(x^2-1)=(A+Bx)/(x^2-1)\to A=2, B=0$ e sei da capo, quindi tutto inutile.
(metodo giusto) $2/(x^2-1)=A/(x-1)+ B/(x+1)=(x(A+B)+(A-B))/(x^2-1)\to A=-B, A-B=2\to A=1, B=-1$ che è un risultato utile.

Paola

[Sk_Anonymous]

grazie della risposta paola,molto chiara,ma quindi a meno di casi lampanti devo sempre cercare le radici complesse del polinomio per capire con cosa ho a che fare giusto? ah paola se hai tempo potresti dare un occhiata al mio post sugli sviluppi di taylor che anche lì ho parecchi dubbi?

[_prime_number]

Radici complesse? Perché?

Paola

[Sk_Anonymous]

cioè mi chiedevo,se fattorizzo o meglio se sono costretto a fattorizzare un polinomio di quarto grado devo calcolare le sue radici complesse,no?a meno che non riesco a vederlo a occhio...quindi comunque sia anche se il polinomio di secondo grado è immaginario cioè ha due radici complesse posso sempre integrare considerando che al numeratore ho un polinomio di grado lineare,giusto?

[MrMeaccia]

se il polinomio ha radici complesse le puoi considerare e usare lo stesso procedimento, oppure no! mi spiego meglio: ricordo che, per semplicità, non consideravo in genere le soluzioni complesse perchè manipolando un po' il polinomio, si riesce (se l'esercizio non è troppo complicato) a trovare una funzione razionale la cui primitiva è "facile" da trovare...per esempio:
$1/[(x^2+1)(x^2-2x+1)] $
il secondo fattore a denominatore è un polinomio di secondo grado con due soluzioni reali uguali (devi scomporlo in fratti semplici), mentre il primo fattore è un polinomio di secondo grado con determinante minore di zero, con soluzioni complesse!
... ottieni
$(Ax+B)/(x^2+1)+ C/(x^2-2x+1) =(Ax+B)/(x^2+1)+ C/(x-1)+ D/(x-1)^2$
Gli ultimi due addendi hanno primitive "facili"..
il primo addendo lo puoi scrivere così:
$Ax/(x^2+1) + B/(x^2+1)$ dove il primo addendo lo puoi ricondurre ad un logaritmo, ed il secondo ad una arcotangente!

In questo caso "facile", non è stato necessario scomporre in fratti semplici il polinomio $(x^2+1)$ a radici complesse, ma non è detto che sia sempre così!

[Sk_Anonymous]

ok quindi me ne frego se il ponomio di secondo grado ha radici complesse o una sola reale completo il quadrato senza cercare di fattorizzarlo nei complessi dico bene?

[MrMeaccia]

mi sa che dipenderà dai casi.. ci saranno situazioni in cui forse sarà più comodo scomporre in fattori! magari con un po' di esercizio ci fai l'occhi per queste cose..