Dubbi flash su vari argomenti
Vi propongo dei quesiti presi da alcuni test di Analisi I. Li posto qui per avere delucidazioni al riguardo 
1* Esistono funzioni che coincidono con le loro inverse? Se si, può andare la funzione $ f(x) = ax + b $ con opportuni $ a, b in R $ ?
2* Sia $ f : Rrarr R $ e derivabile in (1,5), siano poi $ f(1) = 4 $ e $ f(5)=0 $ , allora $ f'(x) $ si annulla? Se si in quanti punti? Io avevo pensato di applicare Rolle, che però non credo sia verificato...
3* Per $ xrarr 0 $ sia $ f=o(g) $ e $ g=o(f) $ è possibile o è una contraddizione? (o piccoli di Landau)
4* Il $ lim_(x -> 0+) (sin (1/x) + 2)/x $ vale $ +oo $ ? Se faccio una sostituzione $ t=1/x $ mi viene $ +oo $
5* Sia $ lim_(x -> 0) (root(3)(x+x^2) - root(3)(x) + x^(3/4))/x^alpha $ allora la parte pricipale è $ p(x)=x^(3/4) $ ?
6* La derivata della funzione $ f(x)=root(5)(e^(3x)* cos^6x) $ ? Ho svolto i conti e viene $ f'(x)=3/5*(e^3x*cos^5x*(cosx - 2senx))/root(5)((e^3x*cos^6x)^4 $ si può semplificare qualcosa?
Scusate il caos ma era inevitabile
Sapreste darmi le risposte mancanti e dirmi se quelle già date sono giuste?
Per ora è tutto. Potrei aggiungere qualcosa più in là! Grazie a tutti in anticipo!
1* Esistono funzioni che coincidono con le loro inverse? Se si, può andare la funzione $ f(x) = ax + b $ con opportuni $ a, b in R $ ?
2* Sia $ f : Rrarr R $ e derivabile in (1,5), siano poi $ f(1) = 4 $ e $ f(5)=0 $ , allora $ f'(x) $ si annulla? Se si in quanti punti? Io avevo pensato di applicare Rolle, che però non credo sia verificato...
3* Per $ xrarr 0 $ sia $ f=o(g) $ e $ g=o(f) $ è possibile o è una contraddizione? (o piccoli di Landau)
4* Il $ lim_(x -> 0+) (sin (1/x) + 2)/x $ vale $ +oo $ ? Se faccio una sostituzione $ t=1/x $ mi viene $ +oo $
5* Sia $ lim_(x -> 0) (root(3)(x+x^2) - root(3)(x) + x^(3/4))/x^alpha $ allora la parte pricipale è $ p(x)=x^(3/4) $ ?
6* La derivata della funzione $ f(x)=root(5)(e^(3x)* cos^6x) $ ? Ho svolto i conti e viene $ f'(x)=3/5*(e^3x*cos^5x*(cosx - 2senx))/root(5)((e^3x*cos^6x)^4 $ si può semplificare qualcosa?
Scusate il caos ma era inevitabile
Sapreste darmi le risposte mancanti e dirmi se quelle già date sono giuste? Per ora è tutto. Potrei aggiungere qualcosa più in là! Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
"Ray_Dirty_Brain":
1* Esistono funzioni che coincidono con le loro inverse? Se si, può andare la funzione $ f(x) = ax + b $ con opportuni $ a, b in R $ ?
Magari sbaglio, ma se intendi funzioni "identicamente uguali" alle loro inverse, l'unica soluzione è l'identità.
"Ray_Dirty_Brain":
2* Sia $ f : Rrarr R $ e derivabile in (1,5), siano poi $ f(1) = 4 $ e $ f(5)=0 $ , allora $ f'(x) $ si annulla? Se si in quanti punti? Io avevo pensato di applicare Rolle, che però non credo sia verificato...
Non è verificato infatti: il controesempio semplice è dato dalla retta che passa per i due punti.
"Ray_Dirty_Brain":
3* Per $ xrarr 0 $ sia $ f=o(g) $ e $ g=o(f) $ è possibile o è una contraddizione? (o piccoli di Landau)
Non vado a braccetto degli o piccoli, c'è una dispensa di gugo82 (in evidenza) nella sezione dedicata all'analisi matematica.
"Ray_Dirty_Brain":
4* Il $ lim_(x -> 0+) (sin (1/x) + 2)/x $ vale $ +oo $ ? Se faccio una sostituzione $ t=1/x $ mi viene $ +oo $
Viene $+\infty$ anche perché puoi pensare che il seno non ammette limite, però è una quantità limitata, dunque hai qualcosa del tipo:
$\text{limitato}/\text{infinitesimo}$.
"Ray_Dirty_Brain":
5* Sia $ lim_(x -> 0) (root(3)(x+x^2) - root(3)(x) + x^(3/4))/x^alpha $ allora la parte pricipale è $ p(x)=x^(3/4) $ ?
Sì se con "parte principale" tu intendi l'infinitesimo di ordine maggiore (al numeratore).
"Ray_Dirty_Brain":
6* La derivata della funzione $ f(x)=root(5)(e^(3x)* cos^6x) $ ? Ho svolto i conti e viene $ f'(x)=3/5*(e^3x*cos^5x*(cosx - 2senx))/root(5)((e^3x*cos^6x)^4 $ si può semplificare qualcosa?
Mi fido dei tuoi calcoli.
Sì, puoi semplificare $e^3 x$ al numeratore con quello sotto radice al denominatore; anche per il coseno vale una cosa simile.
Grazie Zero 
Al punto 5 la $ x $ al denominatore è elevata ad alpha . Quindi cerco quel valore di alpha tale per cui il limite $ EE $ e sia finito. Per parte principale intendo il valore del limite $ l $ moltiplicato per l'infinitesimo campione (in questo caso $ x $) elevato al valore di $ alpha $ (per cui il limite è finito).
Ma quindi nell'esercizio 2 la derivata non si annulla mai?
Al punto 5 la $ x $ al denominatore è elevata ad alpha . Quindi cerco quel valore di alpha tale per cui il limite $ EE $ e sia finito. Per parte principale intendo il valore del limite $ l $ moltiplicato per l'infinitesimo campione (in questo caso $ x $) elevato al valore di $ alpha $ (per cui il limite è finito).
Ma quindi nell'esercizio 2 la derivata non si annulla mai?
"Zero87":
[quote="Ray_Dirty_Brain"]1* Esistono funzioni che coincidono con le loro inverse? Se si, può andare la funzione $ f(x) = ax + b $ con opportuni $ a, b in R $ ?
Magari sbaglio, ma se intendi funzioni "identicamente uguali" alle loro inverse, l'unica soluzione è l'identità.[/quote]
Provate, come utile esercizio, a calcolare le funzioni inverse di:
\[
\begin{split}
f(x) &:= -x +2\\
g(x) &:= \frac{1}{x-1}+1 \qquad \text{definita in } ]1,+\infty[\\
h(x) &:= \begin{cases} 1+(x-1)^2 &\text{, se } x\leq 1 \\ 1-\sqrt{x-1} &\text{, se } x\geq 1\end{cases}\; .
\end{split}
\]
Dopo averlo fatto, provate a disegnarne i grafici.
Che cos'hanno in comune?
"gugo82":
Provate, come utile esercizio, a calcolare le funzioni inverse di:
\[
\begin{split}
f(x) &:= -x +2\\
g(x) &:= \frac{1}{x-1}+1 \qquad \text{definita in } ]1,+\infty[\\
h(x) &:= \begin{cases} 1+(x-1)^2 &\text{, se } x\leq 1 \\ 1-\sqrt{x-1} &\text{, se } x\geq 1\end{cases}\; .
\end{split}
\]
Dopo averlo fatto, provate a disegnarne i grafici.
Ho toppato ma come al solito ci ha pensato l'enciclopedico gugo ad ampliare i miei (nostri) orizzonti: non per nulla è l'autore della dispensa sugli o piccoli oltre che di varie perle di saggezza sparse nel forum!
[size=85]Ma come ca..volo fai ad avere una risposta per tutto? Esiste il doping nella matematica, perché, se sì, ho qualche dubbio! [/size]
Comunque, a mia scusante - a parte lo sballamento mentale di questo periodo - posso dire di non aver pensato a funzioni "definite con la graffa" ma a funzioni definite in un modo solo, senza casi!
Dimenticavo, per la 2 non è vero che "la derivata non si annulla mai". Non avendo come verificate le condizioni di applicabilità del Rolle puoi solo concludere di "non sapere" se la derivata si annulla.
Tant'è vero che esistono anche controesempi facilmente ricavabili con i dati che hai (il più semplice è la retta per 2 punti).
"Zero87":
[size=85]Ma come ca..volo fai ad avere una risposta per tutto? Esiste il doping nella matematica, perché, se sì, ho qualche dubbio! [/size]
lol Zero
Grazie Gugo! Mica sapresti dirmi se è possibile il punto 3? Ho pensato che quelle relazioni di Landau possano coincidere se e solo se le 2 funzioni f e g sono uguali a 0 (cioè funzioni costanti) che però è alquanto strano .Senza avere altre info, devo considerare possibili anche questi casi estremi?
Scrivere \(f=\text{o}(g)\) significa che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists I\ \text{ intorno di } 0:\ |f(x)| \leq \varepsilon\ |g(x)|\quad \text{ per } x\in I\; ;
\]
analogamente, scrivere \(g=\text{o}(f)\) significa che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists J\ \text{ intorno di } 0:\ |g(x)| \leq \varepsilon\ |f(x)|\quad \text{ per } x\in J\; .
\]
Fissato \(\varepsilon = 1/2\) e prendendo \(U=I\cap J\), si verificano per \(x\in U\) entrambe le disuguaglianze precedenti, cosicché:
\[
|f(x)|\leq \frac{1}{2}\ |g(x)|\leq \frac{1}{4}\ |f(x)|\; ,
\]
da cui \(|f(x)|=0\) in \(U\), ed anche:
\[
|g(x)|\leq \frac{1}{2}\ |f(x)|\leq \frac{1}{4}\ |g(x)|\; ,
\]
da cui \(|g(x)|=0\) in \(U\).
Quindi \(f=\text{o}(g)\) e \(g=\text{o}(f)\) si può verificare solo se \(f(x)=0=g(x)\) definitivamente intorno a \(0\).
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists I\ \text{ intorno di } 0:\ |f(x)| \leq \varepsilon\ |g(x)|\quad \text{ per } x\in I\; ;
\]
analogamente, scrivere \(g=\text{o}(f)\) significa che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists J\ \text{ intorno di } 0:\ |g(x)| \leq \varepsilon\ |f(x)|\quad \text{ per } x\in J\; .
\]
Fissato \(\varepsilon = 1/2\) e prendendo \(U=I\cap J\), si verificano per \(x\in U\) entrambe le disuguaglianze precedenti, cosicché:
\[
|f(x)|\leq \frac{1}{2}\ |g(x)|\leq \frac{1}{4}\ |f(x)|\; ,
\]
da cui \(|f(x)|=0\) in \(U\), ed anche:
\[
|g(x)|\leq \frac{1}{2}\ |f(x)|\leq \frac{1}{4}\ |g(x)|\; ,
\]
da cui \(|g(x)|=0\) in \(U\).
Quindi \(f=\text{o}(g)\) e \(g=\text{o}(f)\) si può verificare solo se \(f(x)=0=g(x)\) definitivamente intorno a \(0\).
Grazie Grazie Gugo!
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