Dubbi esistenziali su serie, sommabilità, limiti...:)

[Sveshh]

Salve a tutti sono nuova, frequento il primo anno di ingegneria aerospaziale, il 27 avrò il mio primo esame di analisi e nonostante ritengo di aver studiato in maniera efficiente la teoria ho ancora problemi e dubbi vari su alcuni esercizi: cioè, mi blocco proprio!!
Ringrazio in anticipo tutte quelle menti pazienti e geniali che risolveranno questi miei dubbi esistenziali. Conto sul vostro aiuto!

1. Un esercizio mi chiedeva di studiare la somma sommabilità della funzione
$ f(x)= (x^2logx)/(1+x^4) dx $
nell''intervallo $ [2;+oo) $ .

Sono partita dalla considerazione secondo cui in quell'intervallo la funzione sia $ >0 $ , quindi posso calcolare l'area del rettangoloide formato dalla curva e controllare se è finito.
Se non fosse stata $ >= 0 $ avrei dovuto considerare il su valore assoluto e utilizzare i criteri dell'ordine dell'infinitesimo e dell'infinito giusto???

Considero $ lim_(x -> +oo) int_(2)^(x) (x^2logx)/(1+x^4) dx $

Ho provato per parti ma non riesco a risolvere l'integrale ! Ho provato per sostituzione... Sostituendo $ t= logx $ , ma niente!
Spero che qualcuno mi illumini.

2. Un altro esercizio mi chiede di studiare il carattere di due serie:

#1.
$ sum_(n = 1 \)^(+oo) (arctg(n))/((n!)2^n) $

Essendo una serie a termini positivi ho applicato il criterio del rapporto ottenendo
$ lim_(n -> +oo ) (arctg(n+1))/((n+1)! 2^(n+1)) (n!2^n)/(arctgn) $
E quindi sviluppando i fattoriali e semplificando $ 2^n $
$ lim_(n -> +oo ) (arctg(n+1))/((n+1) 2 )* 1/(arctgn) $

Ciò che fondamentalmente fa tendere il denominatore a $ +oo $ è la $ n $ in parentesi, poiché l' $ arctg $ è una funzione limitata....quindi il tutto dovrebbe tendere a 0 determinando la comvergenza della funzione iniziale giusto????

#2.
$ sum_(n = 1 \)^(+oo) root(3)((n^3+1) ) -n $
Qui ho seriamente bisogno di aiuto.

3. Il testo i i chiede di scrivere in forma trigonometrica ed algebrica il numero complesso
$ z= (1-i)^4 $
Ho pensato dapprima di considerare il numero $ w=1-i $ , studiarne il modulo e l'argomento , per poi considerare $ z=w^4 $ e quindi utilizzare la formula di moivre. Ma a quel punto, l'argomento mi viene $ 7pi + 8kpi $ , il modulo uguale a $ 4 $ e arrivo ad avere delle difficoltà a determinare la parte reale e quella immaginaria per scrivere il numero richiesto in forma algebrica.

4. Infine (e giuro che ho finito ) mi chiede di studiare la convergenza semplice e assoluta della serie
$ sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1)1/(n+cosn $
È certamente una serie a segni alterni, con $ 1/(n+cosn) $ infinitesima e positiva.
Applico il criterio di Leibnitz.
La serie converge.
Per la convergenza assoluta la serie di valori assoluti deve convergere, che dovrebbe corrispondere a $ sum_(n = 1)^(+oo) 1/(n+cosn) $
Prima di procedere mi ha bloccata un dubbio che ho frequentemente:
Ricordo un teorema sul calcolo dei limiti che diceva che la somma di una successione che tende ad infinito e una oscillante non ammette limiti.
Il coseno ed il seno sono oscillanti, no?
Come si comportano se si sommano o si moltiplicano ad una successione convergente, infinitesima o che tende ad infinito?
Questo mi ha bloccato in quanto non sono neanche più sicura che il termine generale della successione sia infinitesimo....

Vi prego...so che è una domanda abbastanza lunga...ma ne ho bisogno! Ho speso più di un ora a scrivere questo post tra formule e formulette...spero non sia stato tempo perso
RINGRAZIO IN ANTICIPO TUTTI!!!!

[_luca94_1]

"Sveshh":
#1.
$ sum_(n = 1 \)^(+oo) (arctg(n))/((n!)2^n) $

Essendo una serie a termini positivi ho applicato il criterio del rapporto ottenendo
$ lim_(n -> +oo ) (arctg(n+1))/((n+1)! 2^(n+1)) (n!2^n)/(arctgn) $
E quindi sviluppando i fattoriali e semplificando $ 2^n $
$ lim_(n -> +oo ) (arctg(n+1))/((n+1) 2 )* 1/(arctgn) $

Ciò che fondamentalmente fa tendere il denominatore a $ +oo $ è la $ n $ in parentesi, poiché l' $ arctg $ è una funzione limitata....quindi il tutto dovrebbe tendere a 0 determinando la comvergenza della funzione iniziale giusto????

Si esatto!
$ lim_(n -> +oo ) (arctan(n+1))/((n+1) 2 )* 1/(arctan) = (\pi/2)/\infty*1/(\pi/2) = 0 < 1 $
la serie converge.

#2. $ sum_(n = 1 \)^(+oo) root(3)((n^3+1) ) -n $

$root(3)((n^3+1) ) -n=n (root(3)(1+1/n^3)-1)$
Sapendo che vale il limite notevole:
$ lim_( n -> +oo ) ((a_n+1)^(\beta)-1)/a_n = \beta$ per $a_n -> 0$
Applichiamo il criterio di confronto asintotico e calcoliamo:
$ lim_(n -> +oo ) (n (root(3)(1+1/n^3)-1))/(1/n^2) = lim_(n -> +oo ) (root(3)(1+1/n^3)-1)/(1/n^3) = 1/3 < 1$
Anche questa converge.

3. Il testo i i chiede di scrivere in forma trigonometrica ed algebrica il numero complesso
$ z= (1-i)^4 $
Ho pensato dapprima di considerare il numero $ w=1-i $ , studiarne il modulo e l'argomento , per poi considerare $ z=w^4 $ e quindi utilizzare la formula di moivre. Ma a quel punto, l'argomento mi viene $ 7pi + 8kpi $ , il modulo uguale a $ 4 $ e arrivo ad avere delle difficoltà a determinare la parte reale e quella immaginaria per scrivere il numero richiesto in forma algebrica.

Perchè la periodicità? La potenza di un numero complesso è unica.
Posto $w=1-i$, la forma trigonometrica è:
$w = sqrt(2)(cos(7/4\pi)+isen(7/4\pi))$
Quindi:
$w^4 = 4(cos(7\pi)+isen(7\pi))$
Forma algebrica:
$w^4=-4$

Riguardati la formula di De Moivre

Per la convergenza assoluta la serie di valori assoluti deve convergere, che dovrebbe corrispondere a $ sum_(n = 1)^(+oo) 1/(n+cosn) $
Prima di procedere mi ha bloccata un dubbio che ho frequentemente:
Ricordo un teorema sul calcolo dei limiti che diceva che la somma di una successione che tende ad infinito e una oscillante non ammette limiti.
Il coseno ed il seno sono oscillanti, no?
Come si comportano se si sommano o si moltiplicano ad una successione convergente, infinitesima o che tende ad infinito?
Questo mi ha bloccato in quanto non sono neanche più sicura che il termine generale della successione sia infinitesimo....

Il termine generale è infinitesimo perchè:
$1/(n+cosn)=1/(n(1+cosn/n)) -> 0 $ per $n->+\infty$

(ovviamente $cosn/n -> 0 $ per $n->+\infty$)

Poi, applicando il criterio del confronto asintotico:
$(1/(n+cosn))/(1/n)=n/(n+cosn)=1/(1+cosn/n) -> 1$ per $n->+\infty$
La serie di partenza ha lo stesso carattere della serie di termine generale $1/n$, quindi diverge.

Sul primo non ho le competenze per aiutarti...spiace.
Ciau

[Sveshh]

"_luca94_":

Il termine generale è infinitesimo perchè:
$1/(n+cosn)=1/(n(1+cosn/n)) -> 0 $ per $n->+\infty$

(ovviamente $cosn/n -> 0 $ per $n->+\infty$)

Poi, applicando il criterio del confronto asintotico:
$(1/(n+cosn))/(1/n)=n/(n+cosn)=1/(1+cosn/n) -> 1$ per $n->+\infty$
La serie di partenza ha lo stesso carattere della serie di termine generale $1/n$, quindi diverge.

Grazie mille, il tuo aiuto è stato importante!
Tuttavia...È possibile che la mia professoressa non ci abbia fatto studiare il criterio asintotico? L'ho visto ora su internet e sul programma non c'è! Ci sono metodi alternativi? Non credo che io possa utilizzare alla prova un criterio che non abbiamo studiato...

Comunque...
Mi hai detto che $ lim_(n -> +oo) cosn*1/n = 0 $
Quindi il prodotto tra una limitata e un'infinitesima da' una successione infinitesima....
E se fosse stato $ lim_(n -> +oo) cosn*n = $
Oppure $ lim_(n -> +oo) cosn-n = $
Come si comportano queste oscillanti?

Grazie ancora!

[_luca94_1]

"Sveshh":[quote="_luca94_"]

Il termine generale è infinitesimo perchè:
$1/(n+cosn)=1/(n(1+cosn/n)) -> 0 $ per $n->+\infty$

(ovviamente $cosn/n -> 0 $ per $n->+\infty$)

Poi, applicando il criterio del confronto asintotico:
$(1/(n+cosn))/(1/n)=n/(n+cosn)=1/(1+cosn/n) -> 1$ per $n->+\infty$
La serie di partenza ha lo stesso carattere della serie di termine generale $1/n$, quindi diverge.

Grazie mille, il tuo aiuto è stato importante!
Tuttavia...È possibile che la mia professoressa non ci abbia fatto studiare il criterio asintotico? L'ho visto ora su internet e sul programma non c'è! Ci sono metodi alternativi? Non credo che io possa utilizzare alla prova un criterio che non abbiamo studiato...

Comunque...
Mi hai detto che $ lim_(n -> +oo) cosn*1/n = 0 $
Quindi il prodotto tra una limitata e un'infinitesima da' una successione infinitesima....
E se fosse stato $ lim_(n -> +oo) cosn*n = $
Oppure $ lim_(n -> +oo) cosn-n = $
Come si comportano queste oscillanti?

Grazie ancora![/quote]
Possibile che non avete fatto il criterio del confronto asintotico? É praticamente il criterio più usato in assoluto per risolvere le serie.
Comunque...
Si, il prodotto tra una succesione limitata e una che tende a zero é una successione infinitesima. Non vorrei dire fesserie, ma mi sembra che sia un corollario del teorema dei carabinieri.

Il limite:
$lim_(x->\infty)(ncosn)$
Non esiste. Per dimostrarlo basta costruire due successioni (che tendono entrambe ad infinito) per cui il limite precedente dá valori diversi per ognuna di esse.

Per calcolare invece:
$lim_(x->\infty)(cosn-n)$
Puoi osservare che:
$cosn <= 1$
Quindi puoi scrivere
$cosn-n <= 1-n$
$1-n->-\infty$ per $n-> \infty$
Se é vera la disuguaglianza, $cosn-n$ non può che tendere a $-\infty$.

[Sveshh]

Il criterio dell'ordine dell' infinitesimo può' darsi che sia quello asintotico?
Viene usato per i caratteri delle serie e dice che se la serie ha termini positivi e il termine generale è un infinitesimo allora può essere confrontato con un altro infinitesimo campione del tipo $ 1/(n)^alpha $ .
Se $ alpha>1 $ e $ 0<=l<+oo $
Cioè se il termine generale è un infinitesimo di ordine maggiore o uguale ad $ alpha > 1 $ allora la serie è CONVERGENTE.
Se $ 0 Cioè se il termine generale è un infinitesimo di ordine non maggiore o uguale ad $ 1 $ allora la serie DIVERGE.

[_luca94_1]

"Sveshh":Il criterio dell'ordine dell' infinitesimo può' darsi che sia quello asintotico?
Viene usato per i caratteri delle serie e dice che se la serie ha termini positivi e il termine generale è un infinitesimo allora può essere confrontato con un altro infinitesimo campione del tipo $ 1/(n)^alpha $ .
Se $ alpha>1 $ e $ 0<=l<+oo $
Cioè se il termine generale è un infinitesimo di ordine maggiore o uguale ad $ alpha > 1 $ allora la serie è CONVERGENTE.
Se $ 0 Cioè se il termine generale è un infinitesimo di ordine non maggiore o uguale ad $ 1 $ allora la serie DIVERGE.

Si é quello.