Dubbi esercizio analisi complessa

[maximus241]

Salvfee, ho questa funzione \(\displaystyle f(z)= \frac {z(z^{2} -1)} {((sen( z \pi))^2)((cos( z \pi))^2))} \)

Mi chiede di capire dove è olomorfa, di stabilire la natura dei punti singolari e di calcolate l'integrale di f(z) su di una circonferenza per percorsa in senso antiorario e con centro nell'origine e raggio 4/3.


Io ho trovato che la funzione è olomorfa in C esclusi i punti K,1/2+K con K= 0, - o +1, etc. E ho stabilito la natura dei punti singolari usando il teorema di f(z)/g(z). Ma l'integrale, come devo calcolarlo?

[Aster89]

Centrerà qualcosa il teorema dei residui?

[Erasmus_First]

"maximus24": [...] calcolate l'integrale di f(z) su di una circonferenza percorsa in senso antiorario e con centro nell'origine e raggio 4/3.

Che si intende con questa circonferenza? Forse il luogo in cui |z| = 4/3 ?
Se è così, allora prova a passare la f(z) da z = x + jy [e allora la circonferenz èil luogo in cui x^2 + y^2 = 16/9] a r·cos(φ) [e allora la circonferenza è data da
$z = (4/3)[cos(φ) +jsin(φ)]$, ]
Poi intregri in dφ tra 0 e 2π (semprecché sia una cosa fattibile!).
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[gugo82]

"maximus24":Salvfee, ho questa funzione:
\[
f(z) := \frac {z\ (z^{2} -1)} {\sin^2 (\pi z)\ \cos^2 (\pi z)}
\]
Mi chiede di capire dove è olomorfa, di stabilire la natura dei punti singolari [...]

Innanzitutto, per semplificare i calcoli, nota che:
\[
f(z) = 4\ \frac{z(z-1)(z+1)}{\sin^2(2\pi z)}
\]
(formula di duplicazione del seno).

La funzione è definita in \(\Omega := \left\{ z\in \mathbb{C}:\ z\neq \frac{k}{2},\text{ con } k\in \mathbb{Z}\right\} = \mathbb{C}\setminus \left\{\frac{k}{2},\text{ con } k \in \mathbb{Z}\right\}\) ed ivi olomorfa (in quanto rapporto di funzioni olomorfe con denominatore non nullo).

Le singolarità di \(f\) si trovano tutte sulla frontiera di \(\Omega\) (come ovvio che sia) ed all'infinito; le singolarità al finito sono tutte isolate, dunque classificabili, mentre la singolarità in \(\infty\) non è classificabile (poiché non isolata).

Nei punti \(z_0 := 0\) e \(z_{\pm 2} := \pm 1\) la \(f\) presenta poli d'ordine \(1\) (in quanto il denominatore presenta in \(0\) e \(\pm 1\) zeri d'ordine \(2\) compensati solo in parte dall'annullarsi del numeratore).

Nei punti \(z_k := \frac{k}{2}\), con \(k\in \mathbb{Z}\setminus \{0,\pm 2\}\) la \(f\) ha poli d'ordine \(2\) (poiché il denominatore presenta in tali punti zeri di ordine \(2\) non compensati da corrispondenti zeri del numeratore).

"maximus24":[...] e di calcolate l'integrale di f(z) su di una circonferenza per percorsa in senso antiorario e con centro nell'origine e raggio 4/3.

L'integrale:
\[
\int_{+\Gamma(0;4/3)} f(z)\ \text{d} z
\]
si calcola attraverso il primo teorema dei residui, che fornisce:
\[
\int_{+\Gamma(0;4/3)} f(z)\ \text{d} z = 2\pi\ \imath\ \sum_{\zeta \text{ singolare interno a } \Gamma (0;4/3)} \operatorname{Res} (f;\zeta)\; .
\]
Chiaramente, le uniche singolarità di \(f\) interne al contorno sono quelle che cadono nei punti \(z_0 = 0\), \(z_{\pm 2} = \pm 1\), \(z_{\pm 1} = \pm \frac{1}{2}\), sicché:
\[
\int_{+\Gamma(0;4/3)} f(z)\ \text{d} z = 2\pi\ \imath\ \left( \operatorname{Res} (f;z_0) + \operatorname{Res} (f;z_2) + \operatorname{Res} (f;z_{-2}) + \operatorname{Res} (f;z_1) + \operatorname{Res} (f;z_{-1})\right)\; .
\]
I residui, relativi a poli del primo e secondo ordine, si calcolano con le regole usuali ed un po' di olio di gomito.