Dubbi esercizi Sup e Inf
Ciao a tutti! Come da titolo si parla di esercizi di sup e inf e più precisamente se esistono dei metodi risolutivi, un percorso logico da seguire o delle regole da tener presente (non abbiate paura di essere banali).
Ne sto facendo un sacco ma ancora non riesco a capire come si arriva alla soluzione. A tal proposito volevo proporre un esercizio che mi sta dando molte perplessita:
A={ $(2)/sqrt(x^2+2x+3)$ x $in$ $RR$ } trovare il sup e l'inf
Allora io procederei applicando le proprietà caratteristiche del sup e dell'inf però non riesco bene a districarmi con i risultati che dovrei ottenere.
Una volta impostata la disequazione
$(2)/sqrt(x^2+2x+3)$ $<=$ b (sup)
La devo risolvere in x? e deve valere per ogni x o basta trovare una soluzione. Poi per quanto riguarda la seconda proprietà caratteristica, in alcuni libri la trovo in una forma e in alcuni in un altra forma. Quale devo usare e come devo risolverla?
Grazie per ogni risposta, ciao ciao!
Ne sto facendo un sacco ma ancora non riesco a capire come si arriva alla soluzione. A tal proposito volevo proporre un esercizio che mi sta dando molte perplessita:
A={ $(2)/sqrt(x^2+2x+3)$ x $in$ $RR$ } trovare il sup e l'inf
Allora io procederei applicando le proprietà caratteristiche del sup e dell'inf però non riesco bene a districarmi con i risultati che dovrei ottenere.
Una volta impostata la disequazione
$(2)/sqrt(x^2+2x+3)$ $<=$ b (sup)
La devo risolvere in x? e deve valere per ogni x o basta trovare una soluzione. Poi per quanto riguarda la seconda proprietà caratteristica, in alcuni libri la trovo in una forma e in alcuni in un altra forma. Quale devo usare e come devo risolverla?
Grazie per ogni risposta, ciao ciao!
Risposte
L'inferiore, in questo caso, è subito trovato. Infatti gli elementi di $A$ sono tutti $> 0$ e $lim_(x -> +oo ) 2/(sqrt( x^2 + 2x + 3)) = 0$
Per il superiore:
Sia $b in RR^+$
$(2)/sqrt(x^2+2x+3) <= b$
$4/(x^2 + 2x + 3) <= b^2$
$x^2 + 2x + 3 - 4/b^2 >= 0$
$Delta/4 <= 0 Rightarrow 4/b^2 <= 2$
$b^2 >= 2 Rightarrow b >= sqrt(2)$
Per il superiore:
Sia $b in RR^+$
$(2)/sqrt(x^2+2x+3) <= b$
$4/(x^2 + 2x + 3) <= b^2$
$x^2 + 2x + 3 - 4/b^2 >= 0$
$Delta/4 <= 0 Rightarrow 4/b^2 <= 2$
$b^2 >= 2 Rightarrow b >= sqrt(2)$
Grazie Seneca per la pronta risposta!
Io mi ero impuntato di non risolverli con i limiti, ma ora mi sembra la soluzione migliore. Posso sempre applicarlo come hai fatto tu ($\lim_{x \to +\infty}$ ) e una volta trovato il risultato, quello è l'inf?
Perchè hai posto $b in RR^+$?
Ultima cosa..non ho capito bene cosa hai fatto per passare dal 4° al 5° passaggio.
Grazie!
Io mi ero impuntato di non risolverli con i limiti, ma ora mi sembra la soluzione migliore. Posso sempre applicarlo come hai fatto tu ($\lim_{x \to +\infty}$ ) e una volta trovato il risultato, quello è l'inf?
Perchè hai posto $b in RR^+$?
Ultima cosa..non ho capito bene cosa hai fatto per passare dal 4° al 5° passaggio.
Grazie!
Tu stai cercando i maggioranti $b$ dell'insieme $A$. L'insieme $A$ è un insieme di numeri positivi, quindi nessuno dei suoi maggioranti può essere negativo.
Allora ci chiediamo quali sono i $b$ per i quali si ha $x^2 + 2x + 3 - 4/b^2 >= 0$.
L'unico modo per far sì che il primo membro sia sempre positivo o nullo è determinare $b$ per i quali valga la condizione $Delta <= 0$ (o $Delta/4 <= 0$ , nel tuo caso, usando la formula ridotta). Se non ti è chiaro, ragiona sul grafico della parabola associata, come si fa per le disequazioni di secondo grado.
Allora ci chiediamo quali sono i $b$ per i quali si ha $x^2 + 2x + 3 - 4/b^2 >= 0$.
L'unico modo per far sì che il primo membro sia sempre positivo o nullo è determinare $b$ per i quali valga la condizione $Delta <= 0$ (o $Delta/4 <= 0$ , nel tuo caso, usando la formula ridotta). Se non ti è chiaro, ragiona sul grafico della parabola associata, come si fa per le disequazioni di secondo grado.
Scusa il ritardo. Ok ci sono adesso, bisogna anche verificare la seconda proprietà caratteristica poi? Ho un pò di confusione perchè alcuni esercizi svolti viene dimostrata, in altri no.
E riguardo al discorso dei limiti che avevo chiesto?
E riguardo al discorso dei limiti che avevo chiesto?
"guitar_joker":
Scusa il ritardo. Ok ci sono adesso, bisogna anche verificare la seconda proprietà caratteristica poi? Ho un pò di confusione perchè alcuni esercizi svolti viene dimostrata, in altri no.
E riguardo al discorso dei limiti che avevo chiesto?
Quale seconda caratteristica?
Per quanto riguarda i limiti, devi vedere un po' tu. Non c'è sempre un metodo standard.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo