Dubbi esercizi integrali doppi
Innanzitutto buona giornata a tutti!
1)Ho il seguente integrale doppio da risolvere:
[tex]\iint_{T}\,2\mid x\mid y\, dx\,dy[/tex]
dove [tex]T[/tex] è il rettangolo di vertici [tex](-2,0),(0,2)[/tex] e [tex](2,0)[/tex].
Analizzando la funzione ottengo che
[tex]f(x,y) =f(-x,y)[/tex], ovvero la funzione è pari e simmetrica rispetto all'asse delle [tex]x[/tex].
Essendo anche il dominio di integrazione simmetrico rispetto a tale asse deduco che:
[tex]\iint_{T}\,2\mid x\mid y\, dx\,d y = 2\int_{0}^{2}dx\int_{0}^{-x+2} 2xy\ dy=4\int_{0}^{2} x\frac{(x-2)^2}{2}\, dx = 2(\frac{x^4}{4}+2x^2-4\frac{x^3}{3}){\mid}_{0}^{2}=\frac{8}{3}[/tex]
Tuttavia se per verifica provo a calcolare separatamente l'integrale decomponendo l'insieme di integrazione ottengo:
[tex]\int_{0}^{2} \int_{y-2}^{0} -2xy\, dx \, dy=-2\int_{0}^{2} y \, dy\int_{y-2}^{0} x\, dx=-\int_{0}^{2} y(y-2)^2\, dy = (4y^2-4y-y^3){\mid}_{0}^{2}=0[/tex]
e
[tex]\int_{0}^{2} \int_{0}^{2-y} 2xy\, dx \, dy=\int_{0}^{2} y (2-y)^2 \, dy=(4\frac{y^2}{2}+\frac{y^4}{4}-4\frac{y^3}{3}){\mid}_{0}^{2}=\frac{4}{3}[/tex]
2) Ho i seguenti due integrali doppi da risolvere:
[tex]\iint_{D}\, e^{x^2+y^2}dx\, dy[/tex] e [tex]\iint_{D}\, xe^{x^2+y^2}dx\, dy[/tex]
dove [tex]D = \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 \mid 1 \leq x^2 + y^2 \leq 2 , y \leq \mid x \mid \leq \sqrt{3}y\}[/tex]
Solo disegnando l'insieme di integrazione noto che è necessario svolgere l'integrale in coordinate polari, quindi trasformo e, essendo il dominio simmetrico rispetto all'asse delle y e la funzione pari ottengo
[tex]2\int_{1}^{2} d\rho\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \rho e^{\rho^2}\, d\theta = 2\int_{1}^{\sqrt{2}} (\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})\rho e ^{\rho^2}\, d\rho=\frac{\pi}{6}\int_{1}^{2} \rho e^{\rho^2}\, d\rho=\frac{\pi}{12}(e^{x^2}){\mid}_{1}^{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{12}e(e-1)[/tex]
Per il secondo integrale noto che la funzione è dispari e negativa per [tex]x < 0[/tex]. Deduco quindi che tale integrale è nullo sul dominio in oggetto.
Ora vi chiedo: sono corrette le mie analisi, specialmente sul primo esercizio, in merito a parità e disparità delle funzioni?
Grazie e a presto!!
1)Ho il seguente integrale doppio da risolvere:
[tex]\iint_{T}\,2\mid x\mid y\, dx\,dy[/tex]
dove [tex]T[/tex] è il rettangolo di vertici [tex](-2,0),(0,2)[/tex] e [tex](2,0)[/tex].
Analizzando la funzione ottengo che
[tex]f(x,y) =f(-x,y)[/tex], ovvero la funzione è pari e simmetrica rispetto all'asse delle [tex]x[/tex].
Essendo anche il dominio di integrazione simmetrico rispetto a tale asse deduco che:
[tex]\iint_{T}\,2\mid x\mid y\, dx\,d y = 2\int_{0}^{2}dx\int_{0}^{-x+2} 2xy\ dy=4\int_{0}^{2} x\frac{(x-2)^2}{2}\, dx = 2(\frac{x^4}{4}+2x^2-4\frac{x^3}{3}){\mid}_{0}^{2}=\frac{8}{3}[/tex]
Tuttavia se per verifica provo a calcolare separatamente l'integrale decomponendo l'insieme di integrazione ottengo:
[tex]\int_{0}^{2} \int_{y-2}^{0} -2xy\, dx \, dy=-2\int_{0}^{2} y \, dy\int_{y-2}^{0} x\, dx=-\int_{0}^{2} y(y-2)^2\, dy = (4y^2-4y-y^3){\mid}_{0}^{2}=0[/tex]
e
[tex]\int_{0}^{2} \int_{0}^{2-y} 2xy\, dx \, dy=\int_{0}^{2} y (2-y)^2 \, dy=(4\frac{y^2}{2}+\frac{y^4}{4}-4\frac{y^3}{3}){\mid}_{0}^{2}=\frac{4}{3}[/tex]
2) Ho i seguenti due integrali doppi da risolvere:
[tex]\iint_{D}\, e^{x^2+y^2}dx\, dy[/tex] e [tex]\iint_{D}\, xe^{x^2+y^2}dx\, dy[/tex]
dove [tex]D = \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 \mid 1 \leq x^2 + y^2 \leq 2 , y \leq \mid x \mid \leq \sqrt{3}y\}[/tex]
Solo disegnando l'insieme di integrazione noto che è necessario svolgere l'integrale in coordinate polari, quindi trasformo e, essendo il dominio simmetrico rispetto all'asse delle y e la funzione pari ottengo
[tex]2\int_{1}^{2} d\rho\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \rho e^{\rho^2}\, d\theta = 2\int_{1}^{\sqrt{2}} (\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})\rho e ^{\rho^2}\, d\rho=\frac{\pi}{6}\int_{1}^{2} \rho e^{\rho^2}\, d\rho=\frac{\pi}{12}(e^{x^2}){\mid}_{1}^{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{12}e(e-1)[/tex]
Per il secondo integrale noto che la funzione è dispari e negativa per [tex]x < 0[/tex]. Deduco quindi che tale integrale è nullo sul dominio in oggetto.
Ora vi chiedo: sono corrette le mie analisi, specialmente sul primo esercizio, in merito a parità e disparità delle funzioni?
Grazie e a presto!!
Risposte
Grazie mille!!
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