Dubbi esercizi integrali
Allora ho un dubbio riguardo due esercizi sugli integrali, cominciamo dal primo. Ho il seguente integrale indefinito da risolvere:
[tex]\int \frac{1}{(x^2+1)^2}dx[/tex]
Presenta delle radici complesse e nelle soluzioni viene usata la seguente decomposizione:
[tex]\frac{1}{(x^2+1)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{d}{dx} \frac{Cx+D}{x^2+1}=\frac{1}{2}\frac{1}{x^2+1}+\frac{d}{dx}[\frac{1}{2}\frac{x}{x^2+1}][/tex]
Non ho capito come ha fatto a ricavarsi i valori dei coefficienti senza svolgere la derivata? Il risultato ottenuto adesso va derivato? Mi manca il passaggio intermedio..
Poi un altro dubbio su un esercizio sulla convergenza degli integrali:
[tex]\int_{0}^{1}\frac{cos^2x+3}{x^\beta+\sqrt{x}}dx[/tex]
Viene risolto nel seguente modo:
Per [tex]x \rightarrow0+[/tex]:
se [tex]\beta> \frac{1}{2}[/tex]:
[tex]f(x)= \frac{4(1+o(1))}{\sqrt{x}(1+0(1))}[/tex] --> l'integrale converge per ogni [tex]\beta> \frac{1}{2}[/tex]
se [tex]\beta= \frac{1}{2}[/tex]:
[tex]f(x)= \frac{4(1+o(1))}{2\sqrt{x}(1+0(1))}[/tex] --> l'integrale converge
se se [tex]\beta< \frac{1}{2}[/tex]:
[tex][tex]f(x)= \frac{4(1+o(1))}{x^{\beta}(1+0(1))}[/tex] --> l'integrale converge per ogni [tex]\beta< \frac{1}{2}[/tex]
Quindi ne segue che l'integrale converge per ogni [tex]\beta[/tex] appartenente ad [tex]R[/tex].
Non riesco a capire per quale motivo l'integrale converge per [tex]x \rightarrow0+[/tex]. Visto che [tex]x[/tex] sta al denominatore non dovrebbe divergere l'integrale nei tre casi? Avrei un numero diviso 0 e quindi un risultato infinito..
[tex]\int \frac{1}{(x^2+1)^2}dx[/tex]
Presenta delle radici complesse e nelle soluzioni viene usata la seguente decomposizione:
[tex]\frac{1}{(x^2+1)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{d}{dx} \frac{Cx+D}{x^2+1}=\frac{1}{2}\frac{1}{x^2+1}+\frac{d}{dx}[\frac{1}{2}\frac{x}{x^2+1}][/tex]
Non ho capito come ha fatto a ricavarsi i valori dei coefficienti senza svolgere la derivata? Il risultato ottenuto adesso va derivato? Mi manca il passaggio intermedio..
Poi un altro dubbio su un esercizio sulla convergenza degli integrali:
[tex]\int_{0}^{1}\frac{cos^2x+3}{x^\beta+\sqrt{x}}dx[/tex]
Viene risolto nel seguente modo:
Per [tex]x \rightarrow0+[/tex]:
se [tex]\beta> \frac{1}{2}[/tex]:
[tex]f(x)= \frac{4(1+o(1))}{\sqrt{x}(1+0(1))}[/tex] --> l'integrale converge per ogni [tex]\beta> \frac{1}{2}[/tex]
se [tex]\beta= \frac{1}{2}[/tex]:
[tex]f(x)= \frac{4(1+o(1))}{2\sqrt{x}(1+0(1))}[/tex] --> l'integrale converge
se se [tex]\beta< \frac{1}{2}[/tex]:
[tex][tex]f(x)= \frac{4(1+o(1))}{x^{\beta}(1+0(1))}[/tex] --> l'integrale converge per ogni [tex]\beta< \frac{1}{2}[/tex]
Quindi ne segue che l'integrale converge per ogni [tex]\beta[/tex] appartenente ad [tex]R[/tex].
Non riesco a capire per quale motivo l'integrale converge per [tex]x \rightarrow0+[/tex]. Visto che [tex]x[/tex] sta al denominatore non dovrebbe divergere l'integrale nei tre casi? Avrei un numero diviso 0 e quindi un risultato infinito..
Risposte
Per quanto riguarda l'integrale indefinito, esso si risolve come segue.
Sommando e sottraendo \(x^2\) al numeratore ed integrando per parti, si trova:
\[
\begin{split}
\int \frac{1}{(1+x^2)^2}\ \text{d} x &= \int \frac{1+x^2 -x^2}{(1+x^2)^2}\ \text{d} x \\
&= \int \frac{1}{1+x^2}\ \text{d} x - \int x\ \frac{x}{(1+x^2)^2}\ \text{d} x \\
&= \arctan x + \frac{1}{2}\ \int x\ \frac{- 2x}{(1+x^2)^2}\ \text{d} x \\
&= \arctan x + \frac{1}{2}\ \frac{x}{1+x^2} - \frac{1}{2}\ \int \frac{1}{1+x^2}\ \text{d} x\\
&= \frac{1}{2}\ \arctan x + \frac{1}{2}\ \frac{x}{1+x^2} +C\; .
\end{split}
\]
Sommando e sottraendo \(x^2\) al numeratore ed integrando per parti, si trova:
\[
\begin{split}
\int \frac{1}{(1+x^2)^2}\ \text{d} x &= \int \frac{1+x^2 -x^2}{(1+x^2)^2}\ \text{d} x \\
&= \int \frac{1}{1+x^2}\ \text{d} x - \int x\ \frac{x}{(1+x^2)^2}\ \text{d} x \\
&= \arctan x + \frac{1}{2}\ \int x\ \frac{- 2x}{(1+x^2)^2}\ \text{d} x \\
&= \arctan x + \frac{1}{2}\ \frac{x}{1+x^2} - \frac{1}{2}\ \int \frac{1}{1+x^2}\ \text{d} x\\
&= \frac{1}{2}\ \arctan x + \frac{1}{2}\ \frac{x}{1+x^2} +C\; .
\end{split}
\]
Per quanto riguarda $int_0^1 (cos^2(x)+3)/(x^beta+sqrtx)dx$ la risoluzione fa uso del criterio di convergenza: questo integrale converge se:
$lim_(x->0^+)(cos^2(x)+3)/(x^beta+sqrtx)= { ( l in RR ),(text(oppure)),( pm oo text( di ordine)<1 ):}$
A questo punto basta osservare l'ordine di infinitesimo del denominatore al variare di $beta$:
Per $beta>1/2$ si ha $f(x)=(cos^2(x)+3)/(x^beta+sqrtx)$ \(\displaystyle \sim \) $4/sqrtx=+oo text( di ordine) 1/2<1 => text(converge)$
Per $beta=1/2$ si ha $f(x)=(cos^2(x)+3)/(sqrtx+sqrtx)$ \(\displaystyle \sim \) $4/(2sqrtx)=+oo text( di ordine) 1/2<1 => text(converge)$
Per $0 text(converge)$
Per $beta=0$ si ha $f(x)=(cos^2(x)+3)/(x^0+sqrtx)$ \(\displaystyle \sim \) $4/1=4 => text(converge)$
Per $beta<0$ si ha $f(x)=(cos^2(x)+3)/(x^beta+sqrtx)$ \(\displaystyle \sim \) $4x^-beta=0 => text(converge)$
$lim_(x->0^+)(cos^2(x)+3)/(x^beta+sqrtx)= { ( l in RR ),(text(oppure)),( pm oo text( di ordine)<1 ):}$
A questo punto basta osservare l'ordine di infinitesimo del denominatore al variare di $beta$:
Per $beta>1/2$ si ha $f(x)=(cos^2(x)+3)/(x^beta+sqrtx)$ \(\displaystyle \sim \) $4/sqrtx=+oo text( di ordine) 1/2<1 => text(converge)$
Per $beta=1/2$ si ha $f(x)=(cos^2(x)+3)/(sqrtx+sqrtx)$ \(\displaystyle \sim \) $4/(2sqrtx)=+oo text( di ordine) 1/2<1 => text(converge)$
Per $0
Per $beta=0$ si ha $f(x)=(cos^2(x)+3)/(x^0+sqrtx)$ \(\displaystyle \sim \) $4/1=4 => text(converge)$
Per $beta<0$ si ha $f(x)=(cos^2(x)+3)/(x^beta+sqrtx)$ \(\displaystyle \sim \) $4x^-beta=0 => text(converge)$
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