Dubbi equazione differenziale

[jarrod]

Salve,
ho ripreso un esercizio che ho svolto un po' di tempo fa. E' l'equazione differenziale a variabili separabili $y' = (2y + y^2)/ x$. ho trovato subito le soluzioni costanti $y = 0$ e $y = -2$. Successivamente ho svolto gli integrali a entrambi i membri e sono giunto a questa equazione $1/2 ln(y/(2+y)) = ln(x) + c$. Fin qua è tutto chiaro. Poi successivamente mi ritrovo scritto dei passaggi di cui non capisco i passaggi elementari che ci stanno dietro (forse perchè sono un po' arrugginito..).
I passaggi successivi sono i seguenti:
$ |y / (2 + y)|^(1/2) = c|x|$ con $c > 0$;
$ y / (2 + y) = cx^2 $ con $ c in R $
$ y(x) = (2cx^2) / (1 - cx^2) $

Qualcuno riuscirebbe a esplicitarmi i sottopassaggi oppure spiegarmi come mai quei passaggi?

[Mathita]

"jarrod":Salve,
ho ripreso un esercizio che ho svolto un po' di tempo fa. E' l'equazione differenziale a variabili separabili $y' = (2y + y^2)/ x$. ho trovato subito le soluzioni costanti $y = 0$ e $y = -2$. Successivamente ho svolto gli integrali a entrambi i membri e sono giunto a questa equazione $1/2 ln(y/(2+y)) = ln(x) + c$. Fin qua è tutto chiaro.

Secondo me mancano alcuni valori assoluti agli argomenti dei logaritmi.

Poi successivamente mi ritrovo scritto dei passaggi di cui non capisco i passaggi elementari che ci stanno dietro (forse perchè sono un po' arrugginito..).
I passaggi successivi sono i seguenti:
$ |y / (2 + y)|^(1/2) = c|x|$ con $c > 0$;
$ y / (2 + y) = cx^2 $ con $ c in R $
$ y(x) = (2cx^2) / (1 - cx^2) $

Qualcuno riuscirebbe a esplicitarmi i sottopassaggi oppure spiegarmi come mai quei passaggi?

Se l'equazione fosse

$1/2 \ln(|\frac{y}{2+y}|) = ln(|x|) + c$

il tuo obiettivo sarebbe quello di esprimere $y$ in funzione di $x$. Il risolutore in questo caso, ha:

- utilizzato le proprietà dei logaritmi per trasportare $1/2$ all'esponente dell'argomento

$\ln(|\frac{y}{2+y}|^{\frac{1}{2}}) = ln(|x|) + c$

- applicato ai due membri l'esponenziale così da sbarazzarsi dei logaritmi

$|\frac{y}{2+y}|^{\frac{1}{2}}=|x|e^{c}$

- rinominato $c$ ponendo $c=e^{c}$ (è un abuso di notazioni perdonabile): scrive che $c>0$ proprio perché definita da un'esponenziale;

$|\frac{y}{2+y}|^{\frac{1}{2}}=c|x|$ con $c>0$

- elevato al quadrato i due membri (che sono positivi o al più nulli) per sbarazzarsi della radice

$|\frac{y}{2+y}|=c^2|x|^2$ con $c>0$

- eliminato il valore assoluto al secondo membro perché tanto $|x|^2=|x^2|=x^2$, e ridichiarato $c=c^2>0$

$|\frac{y}{2+y}|=cx^2$ con $c>0$

- "eliminato" il valore assoluto al primo membro attribuendo i segni $\pm$ al secondo

$\frac{y}{2+y}=\pm cx^2$ con $c>0$

- ridefinito $c=\pm c$. Poiché la $c$ originaria era maggiore di zero, a rigore $c=\pm c$ dovrebbe essere una costante reale non nulla

$\frac{y}{2+y}=cx^2$ con $c\in\mathbb{R}-\{0\}$

- risolto l'equazione nell'incognita $y$, parametrica in $x$ e $c$, in particolare per $y\ne -2$, puoi moltiplicare i due membri per $2+y$ e scrivere i passaggi

$y=(2+y)cx^2 \implies y(1-cx^2)=2cx^2 \implies y=\frac{2cx^2}{1-cx^2}$

dove $1-cx^2\ne 0$.

Tutto qui.

[Edit]: mi sono lasciato prendere la mano e sono stato troppo dettagliato. Sarebbe opportuno che tu imparassi da solo a ricostruirti i passaggi, dopotutto è algebra delle scuole superiori, no?

[jarrod]

Grazie mille, ora ho fatto un bel rinfresco di proprietà elementari