Dubbi e Approfondimenti su esercizi di Analisi 2
Salve a tutti!
Apro questa discussione perché, dovendo svolgere a breve un esame di Analisi 2 da 9 CFU per il mio corso di studi ingegneristico, ho ancora vari dubbi sulla risoluzione di molteplici esercizi. Qui di seguito scriverò gli esercizi ed i miei tentativi per risolverli. Credo che scriverò parecchi esercizi... Spero che qualcuno mi possa aiutare nella risoluzione di almeno una parte di essi! Grazie anticipatamente
1) Si calcoli il volume del solido che si ottiene facendo ruotare attorno all’asse delle
y il seguente sottoinsieme del primo quadrante:
${(x, y) : xy > 1}
nn {(x,y):x^2+y^2<4 root()3/3} $
Svolgimento:
So che il volume di un solido che si ottiene facendo ruotare un insieme attorno all'asse delle y è dato dalla formula: $V= 2pix{::}_Bm(D) $, con $ x{::}_B = int_(A)^()x dx dy $ e $ m(D)= int_(A)^() dx dy $.
Essa, se non sbaglio, è data dal primo teorema di Guldino. Non è mai stato spiegato in aula e, per risolvere questo esercizio, ho dovuto cercare nel libro di Analisi 2 per trovarlo... C'era soltanto l'enunciato, dal quale io ho ricavato la formula. Spero di non sbagliarmi!
Ad ogni modo, anche se putacaso avvessi scritto bene la formula, non saprei calcolare quegli integrali, in quanto il dominio non è normale.
In aula abbiamo studiato solo qualche caso in cui dovevamo calcolare un integrale con un dominio che poteva essere ricondotto ad uno normale. Abbiamo studiato il cambio di variabile, e abbiamo soltanto usato un paio di volte il cambio in coordinate polari, ossia:
$ { ( x=rhocostheta ),(y=rhosentheta ):} $
Il professore, però, non ha mai mostrato come cambiare il dominio da non-normale a normale con le nuove coordinate polari... In pratica abbiamo fatto pochissimi esercizi...
E infatti questo è il mio più grande dubbio: come faccio a trasformare il dominio da non-normale a normale?
Non abbiamo mai nemmeno disegnato un dominio...
Io ho pensato di fare un sistema di disequazioni.
In questo caso: $ { ( 0<=p^2<=4root()3/3 ),(p^2senthetacostheta>1 ):} $
Ma non so come andare avanti in questo caso... Qualcuno potrebbe chiarirmi la questione generale per trasformare un dominio da non-normale a normale usando le coordinate polari?
2) Determinare i punti della cardioide di equazione $ rho=1+costheta $ in cui il vettore tangente è parallelo all'asse delle y.
Svolgimento:
Non ho mai visto neanche un esercizio come questo in aula
Ma vabbè, mi sembra semplice... Anche se non so e non credo di svolgerlo bene.
Comunque so che il vettore tangente ad una curva piana rappresentata in coordinate polari ha la seguente espressione:
$ (f'(theta)costheta - f(theta)sintheta, f'(theta)sintheta +f(theta)costheta) $
Quindi, per la cardiode, con $ theta epsilon [0,2pi] $ si ha ( se non ho sbagliato i calcoli):
$ (-2sinthetacostheta-sintheta, -sin^2theta+cos^2theta+costheta) $
Ora, non ho sono sicuro sul da farsi. So che un vettore parallelo all'asse y è del tipo $ (0,k) $, con k numero Reale. Quindi... Devo porre a sistema:
$ { ( 2sinthetacostheta-sintheta=0 ),( -sin^2theta+cos^2theta+costheta=k ):} $
e poi esprimere tutti i $ theta $ che soddisfano il sistema? L'ho buttata lì, non so se è corretto ciò che dico...
Se fosse corretto allora i punti della curva in cui il vettore tangente è parallelo all'asse y sarebbero quelli in cui:
$theta= 0 => P_1(0,2)$
$theta=pi/3 =>P_2(0,0)$
$theta=5pi/3=>P_3(0,0)$
$theta=2pi=>P_1(0,2)$
Vi prego di correggermi se ho sbagliato...
Ad ogni modo qualcuno potrebbe chiarirmi la questione sui vettori tangenti ad una curva? Soprattutto se essa non è in coordinate polari?
3) Calcolare il seguente integrale doppio
$ intint_Axydxdy $
Dove A è il sottoinsieme del primo quadrante del piano delimitato dall'asse delle y, dalla circonferenza di raggio 1 e centro in (0,1), dalla parabola di equazione: $ y=1-sqrt2x^2 $
Svolgimento:
In aula non abbiamo mai disegnato un dominio... Quindi non so come fare. Ad ogni modo, ho pensato di fare così:
Disegno il dominio come prima cosa:
[jxg]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[/jxg]
Trovo i punti di intersezione tra la circonferenza e la parabola:
$ { ( y=1-sqrt(2)x^2 ),( x^2+y^2-2y=0 ):} $
Ossia:
$ T=(sqrt(2)/2,(2-sqrt2)/2)$
Poi, non riuscendo a esplicitare la y nell'equazione della circonferenza, esplcito la x sia nell'equazione della parabola sia in quella della circonferenza:
$ x=sqrt((sqrt2 -sqrt2y)/2) $
$ x=sqrt(2y-y^2 $
Quindi ho pensato di dividere il dominio in due domini, ossia:
$ { ( 0
Dove però l'interesezione non serve a niente
Probabilmente ho sbagliato... Spero possiate aiutarmi!
Per ora questi tre esercizi sono quelli su cui ho più dubbi. Probabilmente ne aggiungerò altri, sperando che qualcuno mi possa aiutare.
Ringrazio nuovamente anticipatamente chiunque mi dia un aiuto, pur piccolo che sia!
Apro questa discussione perché, dovendo svolgere a breve un esame di Analisi 2 da 9 CFU per il mio corso di studi ingegneristico, ho ancora vari dubbi sulla risoluzione di molteplici esercizi. Qui di seguito scriverò gli esercizi ed i miei tentativi per risolverli. Credo che scriverò parecchi esercizi... Spero che qualcuno mi possa aiutare nella risoluzione di almeno una parte di essi! Grazie anticipatamente
1) Si calcoli il volume del solido che si ottiene facendo ruotare attorno all’asse delle
y il seguente sottoinsieme del primo quadrante:
${(x, y) : xy > 1}
nn {(x,y):x^2+y^2<4 root()3/3} $
Svolgimento:
So che il volume di un solido che si ottiene facendo ruotare un insieme attorno all'asse delle y è dato dalla formula: $V= 2pix{::}_Bm(D) $, con $ x{::}_B = int_(A)^()x dx dy $ e $ m(D)= int_(A)^() dx dy $.
Essa, se non sbaglio, è data dal primo teorema di Guldino. Non è mai stato spiegato in aula e, per risolvere questo esercizio, ho dovuto cercare nel libro di Analisi 2 per trovarlo... C'era soltanto l'enunciato, dal quale io ho ricavato la formula. Spero di non sbagliarmi!
Ad ogni modo, anche se putacaso avvessi scritto bene la formula, non saprei calcolare quegli integrali, in quanto il dominio non è normale.
In aula abbiamo studiato solo qualche caso in cui dovevamo calcolare un integrale con un dominio che poteva essere ricondotto ad uno normale. Abbiamo studiato il cambio di variabile, e abbiamo soltanto usato un paio di volte il cambio in coordinate polari, ossia:
$ { ( x=rhocostheta ),(y=rhosentheta ):} $
Il professore, però, non ha mai mostrato come cambiare il dominio da non-normale a normale con le nuove coordinate polari... In pratica abbiamo fatto pochissimi esercizi...
E infatti questo è il mio più grande dubbio: come faccio a trasformare il dominio da non-normale a normale?
Non abbiamo mai nemmeno disegnato un dominio...
Io ho pensato di fare un sistema di disequazioni.
In questo caso: $ { ( 0<=p^2<=4root()3/3 ),(p^2senthetacostheta>1 ):} $
Ma non so come andare avanti in questo caso... Qualcuno potrebbe chiarirmi la questione generale per trasformare un dominio da non-normale a normale usando le coordinate polari?
2) Determinare i punti della cardioide di equazione $ rho=1+costheta $ in cui il vettore tangente è parallelo all'asse delle y.
Svolgimento:
Non ho mai visto neanche un esercizio come questo in aula
Ma vabbè, mi sembra semplice... Anche se non so e non credo di svolgerlo bene.
Comunque so che il vettore tangente ad una curva piana rappresentata in coordinate polari ha la seguente espressione:
$ (f'(theta)costheta - f(theta)sintheta, f'(theta)sintheta +f(theta)costheta) $
Quindi, per la cardiode, con $ theta epsilon [0,2pi] $ si ha ( se non ho sbagliato i calcoli):
$ (-2sinthetacostheta-sintheta, -sin^2theta+cos^2theta+costheta) $
Ora, non ho sono sicuro sul da farsi. So che un vettore parallelo all'asse y è del tipo $ (0,k) $, con k numero Reale. Quindi... Devo porre a sistema:
$ { ( 2sinthetacostheta-sintheta=0 ),( -sin^2theta+cos^2theta+costheta=k ):} $
e poi esprimere tutti i $ theta $ che soddisfano il sistema? L'ho buttata lì, non so se è corretto ciò che dico...
Se fosse corretto allora i punti della curva in cui il vettore tangente è parallelo all'asse y sarebbero quelli in cui:
$theta= 0 => P_1(0,2)$
$theta=pi/3 =>P_2(0,0)$
$theta=5pi/3=>P_3(0,0)$
$theta=2pi=>P_1(0,2)$
Vi prego di correggermi se ho sbagliato...
Ad ogni modo qualcuno potrebbe chiarirmi la questione sui vettori tangenti ad una curva? Soprattutto se essa non è in coordinate polari?
3) Calcolare il seguente integrale doppio
$ intint_Axydxdy $
Dove A è il sottoinsieme del primo quadrante del piano delimitato dall'asse delle y, dalla circonferenza di raggio 1 e centro in (0,1), dalla parabola di equazione: $ y=1-sqrt2x^2 $
Svolgimento:
In aula non abbiamo mai disegnato un dominio... Quindi non so come fare. Ad ogni modo, ho pensato di fare così:
Disegno il dominio come prima cosa:
[jxg]eNrtmm1v2zYQgD/Hv4JAvrQbaslviYNpAtY2LgYMLdB2RfulBWPRNldZ9CgpkVP0v+/u+CK6U5oUxdB1kxMkvOPx7fjcUZKVPDl/9vT89ct0kLw6f/7i12dP09HwdJpEThokF4rrLB0cJQXfinSh1rlULJPwW4p1odgoiagGLGSxUnrLK6mKNIlCCSp5XW2UBr0tgGqptltRVKBzJVCuVFGV8lqko1kSeQF7z1IYS9JcrO4o2fJGbkHI0krXIolaGWubNB7GSdSQsDfCnoQrmVWbdDIjlRFQvRFyvanSSUx6K8F4kRmQMRhRZXWZjkcx/MJ4JNFalM5kwSsBIjuyCjsrUyb1WsMKVjwvQU1l0pYF3zktlXEySsu1RN/RSsaj0+E0bj/onsZU7tNxfDaMw8+JW2jkesFhrpXauv7i4fygRTwO+uuqtP2ZPrC3upCV623WOhrbzwJXR8YOW1RC+/EDa29p6tEy5xcid6ZNYLv3xtYErbd1XsmbOwb/btRV4x1MgtfvQ73t23Zo9rGoZFEr2mYawJr7Uaxsm4b2zA4ReurzrVtrbAsw+1ENSb6ZEW0rY4ctGqX2rsX69W8i3JT1G5JtG2OJbS6luNopbWdYqV06G47Hs3D7gTXUk0EuVlX6YDacTkKTCWwIVpDJhaoqoOTByfDs4HOaRLaKzDSF13w4n4dGMJa2cQfTbCfHjmwgtVGWtBEEAUJLZSYeaJm0fVqVpXOyEey25pCEjh/F+LNYYNeooLqMlxvrYCqScqck5KIgTlsFJgg3k+SCL9+vtaoLk4LsOAv78eNA1UrmwmKol8Aq/vXBGR9EY+xJNrnqMG35vHWYtWBWbohEbvlapMPhEDIoFSGXMQbbEcyWkQr4zSQm7dJpokCFClylyAUm7NLFdWN3Hpyg8uyV0CWYm6OEMjZ5teJUMjGF6f7th7cfXm5kyUBRgsOXOAi74qDQAjY5Y1ey2jA6pJqXDPsbfvxoYswcF9jbdgfO2+681JDYWLlBVkfzT1h1tXuEdDQN+Zs7X8Oec23OJ1ugdUR+IQmHCV8Ki4oVTAVMPwWQ6b9dPYAUO6BIoznEi4XJCMaFcG7a49MoLmUpL3I3jJNMsGq+FK4PIxigKq3eCwMIxEIoDo48lYFpeoyOWSzi2FnbYEeWZLHGeuQX672OLACxPD1+ePb44enjkykhZxO3SdDH2CimEAuSulnv8aM5/mCzwAFRODvIh+SJIEe3nmk7xH0mutuNJdFGTTi0p9lnBa8w9WVa1HkOept7/yhXsB/41y7YJWMsmdXAEQuxAJ62JQNBXSkr25ECjT3vTNx8VQC9UTUDzpiuiwJ2hfGCQQ9Cs0vTCVMrF0H/RPDMxtM+ePrg+WbBgyfUWvOdOabtbcqTd7G7LWE2qtYjMTOxxNpgYrTcVV3QyZOOfrz3oPxTV/fG9+//0LyFKfkq0ypqm30f/I4+y28I8NxeBwUA/51gAjEk2CFsKD1A2DPsMkcI0jeEGK/VLC43sDPqYOekZ6dn51N2ylzCQRvC80sHOqc3oNNe5jM76OjwJj4eTdx9THue2rs4d6jaOlWaJNzVg6/8Ug7P/h0cTu7I4WJxdhLfxqE9TLs5xOrJ+GYOD8/hb3oQYxfmsVLQp33O5A5aW+NPWnPn5+8Aje/2sBUU6Xu3Jyst/JZQ2RBRQLPKOdVKfnQvm2q8rXRVVLY7tRNgMibsTdntINf27tUUnVrtkGjUKneJmitUgi+UV2VSi2V4UdIqjN/CuSeq2Kl8v26tW4V5BOODmm6HpV7mIgzx5TveEeTzG4J8KzN6UGATgRdtteaZrMtLnte0C6F4YFHUW+OJVvzSaJ58D1fUn15Sf82pYq6dv4NTpSMyYUAP3g1XKeMOCs/6q5T+KuUOV7iTDnbw64wenh6eW+GZdsEz6uHp4bkDPLMueMY9PD08d4DnpAueSQ9PD88d4Dntgmd6F3he9PD83+GZd8Fz6/cJzc9xz8t/m5ckCl6FwNdb6G05eo0CvADW9L5MpVR+wfGhEkuq/U6kv784fw4exyLqiK2HXGvOlgrfhLgGYCTbCV2qgufy+hqg8QiyJBPlUssdYXVbM8YrAAtah40G5nUdP6+khGUsK5GFWnzw1qEeDJKLGqSCXoobg98DcZAojY/P4p/w1TN6kGa+cjbOiNwLh38B6aM8jg==[/jxg]
Trovo i punti di intersezione tra la circonferenza e la parabola:
$ { ( y=1-sqrt(2)x^2 ),( x^2+y^2-2y=0 ):} $
Ossia:
$ T=(sqrt(2)/2,(2-sqrt2)/2)$
Poi, non riuscendo a esplicitare la y nell'equazione della circonferenza, esplcito la x sia nell'equazione della parabola sia in quella della circonferenza:
$ x=sqrt((sqrt2 -sqrt2y)/2) $
$ x=sqrt(2y-y^2 $
Quindi ho pensato di dividere il dominio in due domini, ossia:
$ { ( 0
Dove però l'interesezione non serve a niente
Probabilmente ho sbagliato... Spero possiate aiutarmi!
Per ora questi tre esercizi sono quelli su cui ho più dubbi. Probabilmente ne aggiungerò altri, sperando che qualcuno mi possa aiutare.
Ringrazio nuovamente anticipatamente chiunque mi dia un aiuto, pur piccolo che sia!
Risposte
"ImNoTaGenius":
1) Si calcoli il volume del solido che si ottiene facendo ruotare attorno all’asse delle
y il seguente sottoinsieme del primo quadrante:
${(x, y) : xy > 1}
nn {(x,y):x^2+y^2<4 root()3/3} $
Non ti conviene passare in polare.
Si devono trovare i punti di intersezione delle due curve $x^2+y^2=4/\sqrt3$ e $xy=1$
$y=1/x$ quindi $x^2+(1/x)^2=4/\sqrt3$
siccome $x\ne0$
ci si ritrova con l'equazione $x^4-4/\sqrt3x^2+1=0$, le cui soluzioni sono $x_(1,2)^2={\sqrt3,1/sqrt3}$
Quindi $x={\pm\sqrt\sqrt3, \pm1/\sqrt\sqrt3}$
Teniamo solo quelle nel I° quadrante, e impostiamo l'integrale:
$\int\int_A x\ dx\ dy$
dove $A={(x,y)\in\RR: x=[\sqrt\sqrt3, 1/\sqrt\sqrt3], 1/x
dovrebbe venire un integrale abbastanza pulito da risolvere.
2) Determinare i punti della cardioide di equazione $ rho=1+costheta $ in cui il vettore tangente è parallelo all'asse delle y.
Dalla padella alla brace.
Dunque siamo in coordinate polari.
Prendi un punto sulla cardioide, $C=(\rho,\theta)$
e guarda il disegno.
[jxg]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[/jxg]
Il vettore $\vec(CE)$ è verticale se gli angoli $\hat(DCE)$ e $\hat(BAC)$ sono uguali.
$\hat(BAC) = \theta$
$\hat(DCE)=arctan((\rho')/(\rho))$
siccome $\vec(CD) = \rhod\theta$ e $\vec(DE)=d\rho$
Quindi deve essere
$arctan((\rho')/(\rho))=\theta$
cioè $(\rho')/(\rho)=\tan\theta$
e $\rho'=-\sin\theta, \rho=1+\cos\theta$
allora $(-\sin\theta)/(1+\cos\theta)=\tan\theta= (\sin\theta)/(\cos\theta)$
ora questa equazione è verificata per $\sin\theta =0$ oppure per
$\sin2\theta=-1$, cioè $\theta=3/4\pi$ e per simmetria $\theta=5/4\pi$
Spero che sia tutto corretto, non te lo garantisco.
3) Calcolare il seguente integrale doppio
$ intint_Axydxdy $
Dove A è il sottoinsieme del primo quadrante del piano delimitato dall'asse delle y, dalla circonferenza di raggio 1 e centro in (0,1), dalla parabola di equazione: $ y=1-sqrt2x^2 $
Svolgimento:
In aula non abbiamo mai disegnato un dominio...
Fantastico.
Comunque se hai capito il primo questo è molto simile.
Ciao!
Grazie mille per il tuo aiuto!
Per quanto riguarda il secondo esercizio, mi piace molto il modo in cui hai ragionato! Ho notato però che gli angoli che hai trovato tu sono gli stessi che ho trovato io... Il mio svolgimento, quindi, era esatto o no?
Invece, per quanto riguarda il primo esercizio, ho capito perché y varia in quell'intervallo, ma anche x dovrebbe variare in un intervallo, giusto? Allora perché l'hai eguagliato? Forse intendevi dire che variasse in quell'intervallo?
Comunque non appena potrò aggiornerò il post iniziale per fare bene l'esercizio 3!
Grazie mille per il tuo aiuto!
Per quanto riguarda il secondo esercizio, mi piace molto il modo in cui hai ragionato! Ho notato però che gli angoli che hai trovato tu sono gli stessi che ho trovato io... Il mio svolgimento, quindi, era esatto o no?
Invece, per quanto riguarda il primo esercizio, ho capito perché y varia in quell'intervallo, ma anche x dovrebbe variare in un intervallo, giusto? Allora perché l'hai eguagliato? Forse intendevi dire che variasse in quell'intervallo?
Comunque non appena potrò aggiornerò il post iniziale per fare bene l'esercizio 3!
"ImNoTaGenius":
Ciao!
Grazie mille per il tuo aiuto!
Per quanto riguarda il secondo esercizio, mi piace molto il modo in cui hai ragionato! Ho notato però che gli angoli che hai trovato tu sono gli stessi che ho trovato io... Il mio svolgimento, quindi, era esatto o no?
Invece, per quanto riguarda il primo esercizio, ho capito perché y varia in quell'intervallo, ma anche x dovrebbe variare in un intervallo, giusto? Allora perché l'hai eguagliato? Forse intendevi dire che variasse in quell'intervallo?
Comunque non appena potrò aggiornerò il post iniziale per fare bene l'esercizio 3!
Prego,
guarda che ho fatto un errore negli ultimi passi della cardioide.
Per il primo esercizio, non ho capito il tuo dubbio. Anche x varia, certamente.
Ho aggiornato il primo post con lo svolgimento del terzo esercizio... Che penso di aver sbagliato =/
Qualcuno può aiutarmi a capire se gli ultimi due esercizi che ho svolto sono corretti?
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