Dubbi Convergenza Integrali Impropri
Ciao ragazzi, ho dei dubbi riguardo la convergenza di questi integrali impropri:
a)\( \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{arctan(x)}{|x|^{\alpha} }\ dx \)
b) \( \int_{2}^{+\infty} \frac{sin(x)+cos(x)}{x^2-x+1}\ dx \)
c) \( \int_{0}^{1} x log {| \frac{x}{x-1}| }\ dx \) , anche x-1 è in valore assoluto.
Ho risolto i seguenti integrali in tal maniera: nel caso a) l' \(\displaystyle arctg(x) \) sia che vada a \(\displaystyle + \infty \) o \(\displaystyle -\infty \) tende a un valore finito che è o \(\displaystyle \pi/2 \) o \(\displaystyle - \pi/2 \); quindi mi ritrovo a lavorare su un integrale del tipo \( \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|x|^{\alpha} }\ dx \) , è corretto ciò? Inoltre, siccome gli estremi di integrazione vanno da \(\displaystyle + \infty \) o \(\displaystyle -\infty \) considero il denominatore o
\(\displaystyle x^{\alpha} \) o \(\displaystyle - x^{\alpha} \) . Quindi l'integrale improprio converge se e solo se \(\displaystyle \ \alpha >1 \). Tuttavia, come soluzione il libro mi dà che converge se \(\displaystyle 1<{\alpha}<2 \), dove sbaglio?;
nel caso b) , invece, ho riscritto l'integrale come : \( \int_{2}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x^2-x+1}\ \) + \( \int_{2}^{+\infty} \frac{cos(x)}{x^2-x+1}\ \). Nell'estremo di integrazione inferiore l'integrale non mi dà problemi pertanto lo studio solo quando la \(\displaystyle x-> \infty \). Così facendo, posso assumere che \(\displaystyle |sin(x)|<=1 \) , \(\displaystyle |cos(x)|<=1 \) che \(\displaystyle ( x^2-x-1 )~ x^2 \) , portandomi così a lavorare su integrali in questa forma : \( \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^2}\ \) e ad affermare che questi integrali convergono per il teorema del confronto? ;
nel terzo ed ultimo caso c) avevo intenzione di spezzare l'integrale nella seguente maniera : \( \int_{0}^{1/2} x log {| \frac{x}{x-1}| }\ dx \) + \( \int_{1/2}^{1} x log {| \frac{x}{x-1}| }\ dx \) dove in \( \int_{0}^{1/2} \) il logaritmo ha come argomento 1 e l'integrale converge ed è identicamente nullo; in \( \int_{1/2}^{1} \) proverei ad effettuare un cambiamento di variabile ponendo x-1=t e l'intervallo dell'integrale improprio sarà tra \( \int_{-1/2}^{0 } \), tuttavia mi riconduco al caso precedente . La soluzione di tale esercizio è 1/2, se converge. Dove ho commesso errori?
Scusate la lunghezza!
grazie mille a coloro che risponderanno!
a)\( \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{arctan(x)}{|x|^{\alpha} }\ dx \)
b) \( \int_{2}^{+\infty} \frac{sin(x)+cos(x)}{x^2-x+1}\ dx \)
c) \( \int_{0}^{1} x log {| \frac{x}{x-1}| }\ dx \) , anche x-1 è in valore assoluto.
Ho risolto i seguenti integrali in tal maniera: nel caso a) l' \(\displaystyle arctg(x) \) sia che vada a \(\displaystyle + \infty \) o \(\displaystyle -\infty \) tende a un valore finito che è o \(\displaystyle \pi/2 \) o \(\displaystyle - \pi/2 \); quindi mi ritrovo a lavorare su un integrale del tipo \( \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|x|^{\alpha} }\ dx \) , è corretto ciò? Inoltre, siccome gli estremi di integrazione vanno da \(\displaystyle + \infty \) o \(\displaystyle -\infty \) considero il denominatore o
\(\displaystyle x^{\alpha} \) o \(\displaystyle - x^{\alpha} \) . Quindi l'integrale improprio converge se e solo se \(\displaystyle \ \alpha >1 \). Tuttavia, come soluzione il libro mi dà che converge se \(\displaystyle 1<{\alpha}<2 \), dove sbaglio?;
nel caso b) , invece, ho riscritto l'integrale come : \( \int_{2}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x^2-x+1}\ \) + \( \int_{2}^{+\infty} \frac{cos(x)}{x^2-x+1}\ \). Nell'estremo di integrazione inferiore l'integrale non mi dà problemi pertanto lo studio solo quando la \(\displaystyle x-> \infty \). Così facendo, posso assumere che \(\displaystyle |sin(x)|<=1 \) , \(\displaystyle |cos(x)|<=1 \) che \(\displaystyle ( x^2-x-1 )~ x^2 \) , portandomi così a lavorare su integrali in questa forma : \( \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^2}\ \) e ad affermare che questi integrali convergono per il teorema del confronto? ;
nel terzo ed ultimo caso c) avevo intenzione di spezzare l'integrale nella seguente maniera : \( \int_{0}^{1/2} x log {| \frac{x}{x-1}| }\ dx \) + \( \int_{1/2}^{1} x log {| \frac{x}{x-1}| }\ dx \) dove in \( \int_{0}^{1/2} \) il logaritmo ha come argomento 1 e l'integrale converge ed è identicamente nullo; in \( \int_{1/2}^{1} \) proverei ad effettuare un cambiamento di variabile ponendo x-1=t e l'intervallo dell'integrale improprio sarà tra \( \int_{-1/2}^{0 } \), tuttavia mi riconduco al caso precedente . La soluzione di tale esercizio è 1/2, se converge. Dove ho commesso errori?
Scusate la lunghezza!
grazie mille a coloro che risponderanno!
Risposte
qualcuno?
andiamo per gradi
cominciamo dal primo :c'è un punto critico di cui non hai tenuto conto,$x=0$
cominciamo dal primo :c'è un punto critico di cui non hai tenuto conto,$x=0$
Si, nel caso x=0, la funzione \(\displaystyle arctan(x)\) è asintotica a \(\displaystyle x \) . Mi ritrovo a studiare un integrale di questo tipo:
\(\displaystyle - \int_{-\infty}^{0 } \frac{1}{x^{\alpha-1} }\ dx \)
oppure
\(\displaystyle \int_{0 }^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha-1} }\ dx \).
Un piccolo dubbio: la funzione iniziale presenta la x al denominatore, per tal motivo lo studio della funzione non lo limito solo per tutti i valori di x diversi da zero?
\(\displaystyle - \int_{-\infty}^{0 } \frac{1}{x^{\alpha-1} }\ dx \)
oppure
\(\displaystyle \int_{0 }^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha-1} }\ dx \).
Un piccolo dubbio: la funzione iniziale presenta la x al denominatore, per tal motivo lo studio della funzione non lo limito solo per tutti i valori di x diversi da zero?
sì,ma devi analizzare il comportamento intorno allo zero
come hai detto giustamente,in questo intorno l'integrando è asintotico a $1/x^(alpha-1)$ e quindi per avere convergenza deve essere $alpha-1<1$
come hai detto giustamente,in questo intorno l'integrando è asintotico a $1/x^(alpha-1)$ e quindi per avere convergenza deve essere $alpha-1<1$
Perfetto, grazie mille. Invece, i l secondo caso? Si può risolvere come ho fatto io o solo attraverso la convergenza assoluta?
per il secondo caso ,per tagliare la testa al toro ,e per semplificare,si può dire che c'è addirittura convergenza assoluta perchè il valore assoluto dell'integrando è maggiorato da $2/(x^2-x+1)$ che è asintotico a $2/x^2$
Ok, quindi va bene anche affermare che l'integrale improprio converge per confronto. Mentre, nel terzo caso ho un paio di problemi . Potresti aiutarmi , quantunquemente ? grazie mille!
per il terzo,l'integrando,nell'intervallo considerato,si può scrivere come $xln(x/(1-x))$
penso che la strada migliore per determinare una primitiva sia quella di integrare per parti prendendo $x$ come fattore differenziale
penso che la strada migliore per determinare una primitiva sia quella di integrare per parti prendendo $x$ come fattore differenziale
più che altro il problema non è tanto determinare la primitiva(solo calcoli) ma discutere il valore assoluto e la convergenza che per me è un po' ostico.
come già detto,siccome siamo in $(0,1)$ si ha $|x/(x-1)|=x/(1-x)$ in tutto l'intervallo
passiamo alla convergenza
1) $x rarr 0^+$
$xln(x/(1-x))=xlnx-xln(1-x)$ ed è facile vedere che questa roba tende a $0$
2)$x rarr 1^-$
l'integrando è asintotico a $-ln(1-x)$ che è un infinito di ordine minore di $1$
quindi,nessuno dei 2 estremi dà problemi di convergenza
passiamo alla convergenza
1) $x rarr 0^+$
$xln(x/(1-x))=xlnx-xln(1-x)$ ed è facile vedere che questa roba tende a $0$
2)$x rarr 1^-$
l'integrando è asintotico a $-ln(1-x)$ che è un infinito di ordine minore di $1$
quindi,nessuno dei 2 estremi dà problemi di convergenza
Ok, perfetto, si l'argomento del logaritmo ovviamente tra \(\displaystyle (0,1) \) è negativo.
In \(\displaystyle x->0^+ \) il ragionamento non fa una piega. In \(\displaystyle x->1^- \) è asintotico a \(\displaystyle −ln(1−x) \) tuttavia non capisco perché è convergente. In questo caso, non dovrebbe divergere positivamente la funzione? Scusami per i continui dubbi, grazie mille. L'esame si avvicina ed è meglio risolvere tutto
In \(\displaystyle x->0^+ \) il ragionamento non fa una piega. In \(\displaystyle x->1^- \) è asintotico a \(\displaystyle −ln(1−x) \) tuttavia non capisco perché è convergente. In questo caso, non dovrebbe divergere positivamente la funzione? Scusami per i continui dubbi, grazie mille. L'esame si avvicina ed è meglio risolvere tutto

ma $-ln(1-x) rarr +infty$ ed è un infinito di ordine minore di $1$ ,per questo c'è convergenza
ci sarebbe stata divergenza se fosse stato un infinito di ordine maggiore o uguale ad $1$
ci sarebbe stata divergenza se fosse stato un infinito di ordine maggiore o uguale ad $1$
Che sciocco! Ok, lo vedi come : \(\displaystyle \frac{1}{ln(1-x)} \) e con \(\displaystyle x->1^- \) va a zero . Scusami, colpa dell'ora
Grazie mille , quantunquemente!

però è $ln(1/(1-x))$
\(\displaystyle −ln(1−x) \) lo vedrei come \(\displaystyle ln(1−x)^{-1} \) o meglio ancora come \(\displaystyle \frac{1}{ln(1-x)} \) che con \(\displaystyle x->1^- \) tende a zero, può essere?
e no, $ln((1-x)^-1)=ln(1/(1-x))$ che è cosa ben diversa da quella che hai scritto tu
questo termine diverge positivamente,ma nonostante questo l'integrale converge perchè l'integrando non è un infinito abbastanza veloce,per capirci : è di ordine minore di $1$
questo termine diverge positivamente,ma nonostante questo l'integrale converge perchè l'integrando non è un infinito abbastanza veloce,per capirci : è di ordine minore di $1$
Ok, ho capito
grazie mille quantunquemente ! scusami per il tempo che ti ho rubato!

prego
purtroppo ho un infortunio alla gamba che mi sta costringendo ad una vita molto sedentaria
quindi,in fondo,questo è un piacevole passatempo

purtroppo ho un infortunio alla gamba che mi sta costringendo ad una vita molto sedentaria
quindi,in fondo,questo è un piacevole passatempo