Dubbi concettuali studio di funzioni generiche
Salve a tutti. Nel mio cammino da autodidatta della Matematica e poi dell'Analisi sono ormai approdato allo studio di funzione.
Faccio l'università e ho trovato molti problemi in questa materia dato che alle superiori non era previsto lo studio della matematica al 5° anno. Tutto ciò che riguarda l'Analisi Matematica lo vedo per la prima volta, ed è per questo che fino a poco tempo fa postavo nella sezione SCUOLA SECONDARIA DI 2° GRADO, nonostante fossi in ambito universitario. Vi chiedo clemenza nel caso alcuni dei dubbi che vi posterò vi sembreranno banali o poco perspicaci. Non avendo un professore o qualcuno a cui chiedere, spesso mi trovo in balia "delle onde". Premetto che non ho ancora iniziato ne lo studio degli integrali ne dei simboli di Landau, perciò vi chiedo -se possibile- nella risoluzione di questi dubbi, di ometterli perchè non sarei ancora in grado di capirli.
1) Il primo dubbio riguarda lo studio del dominio di una funzione. Se ho una funzione:
$y=4/((5x+1)/(6x))$ il dominio è $D=R-{-1/5;0}$
mentre, semplicemente riscrivendo la funzione nella forma
$y=(24x)/(5x+1)$ ottengo un dominio differente: $D=R-{0}$.
Perchè cambia il dominio? Ho fatto un'operazione consentita, che mi garantisce l'uguaglianza tra le due forme. Quale è allora la forma di cui devo studiare il dominio per garantirmi che sia quello relativo alla funzione che mi è stata data per lo studio?
2) Il secondo dubbio è collegato al primo, e riguarda le derivate. Se io ho una funzione y, per studiarla prima o poi devo andarne a calcolarne la derivata prima y'. Spesso, anzi sempre, calcolare la derivata comporta più passaggi, per arrivare ad una forma più "compatta" o "semplice", ma facendo questi passaggi come faccio ad essere sicuro (dubbio numero uno) di non aver modificato il dominio della derivata prima? In quale "momento", prima o dopo i passaggi per semplificarne la forma, devo calcolarlo per essere sicuro di non sbagliare?
3) il terzo dubbio riguarda un'ambiguità che mi trae in inganno. Quando devo studiare il segno di una funzione frazionaria del tipo:
$y=-(a+b)/c$ e quindi $-(a+b)/c>0$
è indifferente se studio:
$(-a-b)/c>0$ o $(a+b)/c<0$ o anche lasciandola nella forma $-(a+b)/c$ e mettendo il meno davanti al numeratore?
Ve lo chiedo perchè ho visto che spesso il risultato non mi viene, e non riesco a capire la differenza tra quelle forme che apparentemente sono coincidenti.
4) il quarto dubbio riguarda la categorizzazione delle funzioni.
La funzione $y=(xe^x+e^x-1)/e^x$ si può dire che è Razionale Fratta?
4.1 - E' sufficiente la presenza del seno, coseno, tangente,... all'interno dell'equazione analitica di una funzione per definirla "periodica"? Esistono funzioni che non sono periodiche ma che all'interno della loro equazione analitica contengono funzioni come seno,coseno..?
Vi faccio un esempio a caso; la funzione $y=e^x+senx-log(x-1)$ si può definire periodica solo prendendo in considerazione il fatto che compare il "seno" all'interno della sua espressione analitica?
Altro esempio, la funzione $y=2arctgx-x$ è periodica?
5) Come calcolo il periodo della funzione : $y=4cosx+2cos2x-1$? E, come sopra, posso dire ad una prima occhiata che è periodica solo perchè compare il coseno?
6) Ha senso parlare di simmetria o antisimmetria quando sto studiando una funzione periodica?
7) Il settimo dubbio riguarda il dominio della derivata rispetto a quello della funzione.
Si può affermare con certezza che il dominio D' della derivata f'(x) di una funzione f(x) è SEMPRE contenuto o AL MASSIMO uguale al dominio D della f(x)? Mi ha messo in difficoltà questa funzione:
$y=log(x/(x^2-4))$ ha come dominio $D=(-2;0)U(2;+∞)$
mentre la sua derivata:
$y'=-(x^2+4)/(1-4/x^2)$ ha come dominio $D'= R-{0;4}$.
Come è possibile? Il dominio della derivata è più grande!
Come devo intendere questa cosa? I punti che appartengono al dominio della derivata ma non appartengono al dominio della funzione, che relazione hanno con la funzione di partenza?
Questo è quanto, mi scuso in anticipo per la mole di roba che ho scritto ma purtroppo mi si sono accumulati tutti questi dubbi e non ho trovato nessuno capace di sbrogliarli, ringrazio in anticipo il coraggioso che risponderà!
Faccio l'università e ho trovato molti problemi in questa materia dato che alle superiori non era previsto lo studio della matematica al 5° anno. Tutto ciò che riguarda l'Analisi Matematica lo vedo per la prima volta, ed è per questo che fino a poco tempo fa postavo nella sezione SCUOLA SECONDARIA DI 2° GRADO, nonostante fossi in ambito universitario. Vi chiedo clemenza nel caso alcuni dei dubbi che vi posterò vi sembreranno banali o poco perspicaci. Non avendo un professore o qualcuno a cui chiedere, spesso mi trovo in balia "delle onde". Premetto che non ho ancora iniziato ne lo studio degli integrali ne dei simboli di Landau, perciò vi chiedo -se possibile- nella risoluzione di questi dubbi, di ometterli perchè non sarei ancora in grado di capirli.
1) Il primo dubbio riguarda lo studio del dominio di una funzione. Se ho una funzione:
$y=4/((5x+1)/(6x))$ il dominio è $D=R-{-1/5;0}$
mentre, semplicemente riscrivendo la funzione nella forma
$y=(24x)/(5x+1)$ ottengo un dominio differente: $D=R-{0}$.
Perchè cambia il dominio? Ho fatto un'operazione consentita, che mi garantisce l'uguaglianza tra le due forme. Quale è allora la forma di cui devo studiare il dominio per garantirmi che sia quello relativo alla funzione che mi è stata data per lo studio?
2) Il secondo dubbio è collegato al primo, e riguarda le derivate. Se io ho una funzione y, per studiarla prima o poi devo andarne a calcolarne la derivata prima y'. Spesso, anzi sempre, calcolare la derivata comporta più passaggi, per arrivare ad una forma più "compatta" o "semplice", ma facendo questi passaggi come faccio ad essere sicuro (dubbio numero uno) di non aver modificato il dominio della derivata prima? In quale "momento", prima o dopo i passaggi per semplificarne la forma, devo calcolarlo per essere sicuro di non sbagliare?
3) il terzo dubbio riguarda un'ambiguità che mi trae in inganno. Quando devo studiare il segno di una funzione frazionaria del tipo:
$y=-(a+b)/c$ e quindi $-(a+b)/c>0$
è indifferente se studio:
$(-a-b)/c>0$ o $(a+b)/c<0$ o anche lasciandola nella forma $-(a+b)/c$ e mettendo il meno davanti al numeratore?
Ve lo chiedo perchè ho visto che spesso il risultato non mi viene, e non riesco a capire la differenza tra quelle forme che apparentemente sono coincidenti.
4) il quarto dubbio riguarda la categorizzazione delle funzioni.
La funzione $y=(xe^x+e^x-1)/e^x$ si può dire che è Razionale Fratta?
4.1 - E' sufficiente la presenza del seno, coseno, tangente,... all'interno dell'equazione analitica di una funzione per definirla "periodica"? Esistono funzioni che non sono periodiche ma che all'interno della loro equazione analitica contengono funzioni come seno,coseno..?
Vi faccio un esempio a caso; la funzione $y=e^x+senx-log(x-1)$ si può definire periodica solo prendendo in considerazione il fatto che compare il "seno" all'interno della sua espressione analitica?
Altro esempio, la funzione $y=2arctgx-x$ è periodica?
5) Come calcolo il periodo della funzione : $y=4cosx+2cos2x-1$? E, come sopra, posso dire ad una prima occhiata che è periodica solo perchè compare il coseno?
6) Ha senso parlare di simmetria o antisimmetria quando sto studiando una funzione periodica?
7) Il settimo dubbio riguarda il dominio della derivata rispetto a quello della funzione.
Si può affermare con certezza che il dominio D' della derivata f'(x) di una funzione f(x) è SEMPRE contenuto o AL MASSIMO uguale al dominio D della f(x)? Mi ha messo in difficoltà questa funzione:
$y=log(x/(x^2-4))$ ha come dominio $D=(-2;0)U(2;+∞)$
mentre la sua derivata:
$y'=-(x^2+4)/(1-4/x^2)$ ha come dominio $D'= R-{0;4}$.
Come è possibile? Il dominio della derivata è più grande!
Come devo intendere questa cosa? I punti che appartengono al dominio della derivata ma non appartengono al dominio della funzione, che relazione hanno con la funzione di partenza?Questo è quanto, mi scuso in anticipo per la mole di roba che ho scritto ma purtroppo mi si sono accumulati tutti questi dubbi e non ho trovato nessuno capace di sbrogliarli, ringrazio in anticipo il coraggioso che risponderà!
Risposte
1) Non hai fatto un'operazione consentita: un'uguaglianza è equivalente ad un'altra se moltiplichi per un numero diverso da zero, quindi la seconda vale solo se escludi lo zero dal dominio (altrimenti moltiplicando per $6x$, moltiplichi per zero)
Attenzione che il dominio che hai indicato per la seconda non è corretto ...
Cordialmente, Alex
Attenzione che il dominio che hai indicato per la seconda non è corretto ...
Cordialmente, Alex
3) Generalmente la cosa più semplice è studiare, separatamente, i segni del numeratore e del denominatore (cioè dove è positivo, negativo o nullo uno e poi l'altro) e indi trarne le conseguenze.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Ti ringrazio Alex, il 1) e il 3) dubbio sono risolti.
Per i restanti sai dirmi qualcosa?? Soprattutto il dubbio 4) e il 7) mi stanno creando parecchi problemi
Per i restanti sai dirmi qualcosa?? Soprattutto il dubbio 4) e il 7) mi stanno creando parecchi problemi
Salve Sheldon Lee Cooper. Ti autorizzo a dirmi toc-toc-toc Zero, toc-toc-toc Zero, toc-toc-toc Zero se rispondi a questo post. 
Scherzi a parte.
No, perché non è razionale ma compare almeno un termine che la rende trascendente. Una funzione razionale fratta, se non ricordo male, è solo squisitamente un rapporto di polinomi...
No, non basta.
Il primo esempio è $f(x)=cos(x)+x$ che "oscilla periodicamente" ma non è periodica proprio perché "sale" lungo la retta $y=x$. Dire che "oscilla intorno ad una retta (obliqua, se tale retta è $y=0$, cioè l'asse $x$ rientriamo nel periodico)" è qualcosa di filosofico ma abbastanza inutile dal punto di vista pratico.
Se hai familiarità con google - da un po' google disegna i grafici scrivendo una funzione nella barra delle ricerche... non lo sapevo! - o l'onnipresente wolframalpha, ti invito a vedere il grafico della funzione che ho scritto.
Puoi dire che una funzione è periodica quando ci sono solo funzioni trigonometriche e, al massimo, un termine noto. Poi anche lì non è detto perché se compaiono le inverse, i periodi vanno a farsi friggere.
Il discorso, però, è più ampio perché, ad es., $f(x)=e^(cos(x))$ è periodica nonostante il coseno sia l'esponente di un esponenziale (che brutto gioco di parole...!).
Infatti no...!
No, ma non lo sarebbe stato nemmeno "senza" la $x$ perché l'arcotangente, di per sé, non è periodica.
A prima occhiata puoi dire che è periodica perché oltre a coseni vari compare solo una costante e non altri tipi di funzioni. Per calcolare il periodo prendi i singoli periodi di ogni termine (come detto, $1$ rimane sempre uguale e non fa testo, diciamo) e vedi il più piccolo che è multiplo di entrambi.
Nel tuo caso, il primo termine ha periodo $2\pi$, il secondo $\pi$, dunque il periodo complessivo è $2\pi$.
Perché no?
Il seno è una funzione dispari, il coseno è pari e ci sono, magari, tante altre piccole simmetrie - che generalmente non interessano - rispetto a rette, punti,...
Come hai visto sull'esempio, no!
In genere, infatti, quando compaiono logaritmi "singoli" di vario tipo, se vai a derivare generalmente scompaiono e resta un rapporto di polinomi che spesso è meno restrittivo in quanto a dominio della funzione di partenza.
Nello studio di una funzione, infatti, anche per questo si fa per prima cosa il dominio. Tutto quello che accade fuori non ci importa - anzi, non ha proprio senso che importi!
- e, se ci pensi bene, non avrebbe senso descrivere la derivata della funzione in cui la funzione stessa non esiste.
Scherzi a parte.
"SheldonLeeCooper":
4) il quarto dubbio riguarda la categorizzazione delle funzioni.
La funzione $y=(xe^x+e^x-1)/e^x$ si può dire che è Razionale Fratta?
No, perché non è razionale ma compare almeno un termine che la rende trascendente. Una funzione razionale fratta, se non ricordo male, è solo squisitamente un rapporto di polinomi...
4.1 - E' sufficiente la presenza del seno, coseno, tangente,... all'interno dell'equazione analitica di una funzione per definirla "periodica"? Esistono funzioni che non sono periodiche ma che all'interno della loro equazione analitica contengono funzioni come seno,coseno..?
No, non basta.
Il primo esempio è $f(x)=cos(x)+x$ che "oscilla periodicamente" ma non è periodica proprio perché "sale" lungo la retta $y=x$. Dire che "oscilla intorno ad una retta (obliqua, se tale retta è $y=0$, cioè l'asse $x$ rientriamo nel periodico)" è qualcosa di filosofico ma abbastanza inutile dal punto di vista pratico.
Se hai familiarità con google - da un po' google disegna i grafici scrivendo una funzione nella barra delle ricerche... non lo sapevo! - o l'onnipresente wolframalpha, ti invito a vedere il grafico della funzione che ho scritto.
Puoi dire che una funzione è periodica quando ci sono solo funzioni trigonometriche e, al massimo, un termine noto. Poi anche lì non è detto perché se compaiono le inverse, i periodi vanno a farsi friggere.
Il discorso, però, è più ampio perché, ad es., $f(x)=e^(cos(x))$ è periodica nonostante il coseno sia l'esponente di un esponenziale (che brutto gioco di parole...!).
Vi faccio un esempio a caso; la funzione $y=e^x+senx-log(x-1)$ si può definire periodica solo prendendo in considerazione il fatto che compare il "seno" all'interno della sua espressione analitica?
Infatti no...!
Altro esempio, la funzione $y=2arctgx-x$ è periodica?
No, ma non lo sarebbe stato nemmeno "senza" la $x$ perché l'arcotangente, di per sé, non è periodica.
Come calcolo il periodo della funzione : $y=4cosx+2cos2x-1$? E, come sopra, posso dire ad una prima occhiata che è periodica solo perchè compare il coseno?
A prima occhiata puoi dire che è periodica perché oltre a coseni vari compare solo una costante e non altri tipi di funzioni. Per calcolare il periodo prendi i singoli periodi di ogni termine (come detto, $1$ rimane sempre uguale e non fa testo, diciamo) e vedi il più piccolo che è multiplo di entrambi.
Nel tuo caso, il primo termine ha periodo $2\pi$, il secondo $\pi$, dunque il periodo complessivo è $2\pi$.
6) Ha senso parlare di simmetria o antisimmetria quando sto studiando una funzione periodica?
Perché no?
Il seno è una funzione dispari, il coseno è pari e ci sono, magari, tante altre piccole simmetrie - che generalmente non interessano - rispetto a rette, punti,...
7) Il settimo dubbio riguarda il dominio della derivata rispetto a quello della funzione.
Si può affermare con certezza che il dominio D' della derivata f'(x) di una funzione f(x) è SEMPRE contenuto o AL MASSIMO uguale al dominio D della f(x)?
Come hai visto sull'esempio, no!
In genere, infatti, quando compaiono logaritmi "singoli" di vario tipo, se vai a derivare generalmente scompaiono e resta un rapporto di polinomi che spesso è meno restrittivo in quanto a dominio della funzione di partenza.
Nello studio di una funzione, infatti, anche per questo si fa per prima cosa il dominio. Tutto quello che accade fuori non ci importa - anzi, non ha proprio senso che importi!
- e, se ci pensi bene, non avrebbe senso descrivere la derivata della funzione in cui la funzione stessa non esiste.
"SheldonLeeCooper":
Per i restanti sai dirmi qualcosa??
Beh per il 2) vale quanto detto per il primo: se applichi correttamente le condizioni per passare da un'equazione ad un'altra equivalente non ci sono problemi; la cosa importante è che, eventualmente, certi passaggi potrebbero inserire ulteriori vincoli di cui ovviamente si deve tenere conto. Inoltre si deve sempre ricordare che due equazioni equivalenti, sono per l'appunto equivalenti ma non uguali cioè hanno le stesse soluzioni ma, magari, non lo stesso campo di applicazione.
Per gli altri punti avevo le mie idee (che peraltro erano sostanzialmente corrette viste gli interventi successivi) ma non essendone "sicuro, sicuro", ho preferito evitare di fare confusione.
In particolare per il 7) stavo per scrivere esattamente le stesse parole di
"Zero87":
... Tutto quello che accade fuori non ci importa - anzi, non ha proprio senso che importi!
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Beh per il 2) vale quanto detto per il primo: se applichi correttamente le condizioni per passare da un'equazione ad un'altra equivalente non ci sono problemi; la cosa importante è che, eventualmente, certi passaggi potrebbero inserire ulteriori vincoli di cui ovviamente si deve tenere conto.
Sì, m'ero scordato il 2).
"axpgn":
Per gli altri punti avevo le mie idee (che peraltro erano sostanzialmente corrette viste gli interventi successivi) ma non essendone "sicuro, sicuro", ho preferito evitare di fare confusione.
Neanche io sono mai sicuro sicuro, ma essendo sicuro, diciamo al 95%, ho risposto. Il fatto che nessuno abbia smentito quanto detto e, anzi, tu hai affermato che avevi in mente le stesse cose che ho detto io... direi che è già una conferma.
Grazie per avermi usato come termine di paragone, ma mi sa che hai esagerato con la tua "sicurezza" ...
(riguardo a me, ovvio ... )
(riguardo a me, ovvio ...
)
Alex e Zero87 vi ringrazio infinitamente per le risposte, siete stati gentilissimi. Credo di aver risolto praticamente tutti i dubbi.
Volevo chiedervi due ultime cose per sicurezza, sempre inerenti a quanto scritto sopra:
1) Se durante uno studio di funzione, nei passaggi per calcolare la derivata prima, prima di esaminarne il dominio, rischio di introdurre ulteriori vincoli (o di toglierli), allora non mi converrebbe solo "abbozzarla" nella forma, calcolarne il dominio, e solo poi renderla compatta o comunque scritta in una forma più semplice per le successive valutazioni dei punti stazionari e del segno?
2) Non riesco a capire perchè il mio libro di testo riporti solo il metodo per "verificare" il periodo di una funzione periodica, ma non riporti il modo per calcolarlo, nemmeno un esempio.
Ho cercato un po' su internet e ho visto che in caso di somma o sottrazione di più periodi si fa il minimo comune multiplo, ma nel caso di una frazione ? Sareste così gentili da farmi uno schema dei possibili casi, o degli esempi per i casi che possono capitare nella determinazione del periodo di funzioni trigonometriche non elementari?
Vi lascio quelle di cui non so come calcolare il periodo:
$y=(senx-1)/(cosx-senx)$ grazie a wolfram so che il periodo è $2pi$ ma come ci arrivo?
$y=(senx)/cosx$ e perchè invece il periodo di questa è $pi$ e non $2pi$?
Volevo chiedervi due ultime cose per sicurezza, sempre inerenti a quanto scritto sopra:
1) Se durante uno studio di funzione, nei passaggi per calcolare la derivata prima, prima di esaminarne il dominio, rischio di introdurre ulteriori vincoli (o di toglierli), allora non mi converrebbe solo "abbozzarla" nella forma, calcolarne il dominio, e solo poi renderla compatta o comunque scritta in una forma più semplice per le successive valutazioni dei punti stazionari e del segno?
2) Non riesco a capire perchè il mio libro di testo riporti solo il metodo per "verificare" il periodo di una funzione periodica, ma non riporti il modo per calcolarlo, nemmeno un esempio.
Ho cercato un po' su internet e ho visto che in caso di somma o sottrazione di più periodi si fa il minimo comune multiplo, ma nel caso di una frazione ? Sareste così gentili da farmi uno schema dei possibili casi, o degli esempi per i casi che possono capitare nella determinazione del periodo di funzioni trigonometriche non elementari?
Vi lascio quelle di cui non so come calcolare il periodo:
$y=(senx-1)/(cosx-senx)$ grazie a wolfram so che il periodo è $2pi$ ma come ci arrivo?
$y=(senx)/cosx$ e perchè invece il periodo di questa è $pi$ e non $2pi$?
"SheldonLeeCooper":
$y=(senx)/cosx$ e perchè invece il periodo di questa è $pi$ e non $2pi$?
Questa la so
Perché quella è la tangente, e la tangente ha periodo $pi$ ...
Comunque non ho capito bene cosa intendi con la prima domanda: se vuoi dire di usare maggior cautela, ok va sempre bene, però io non esagererei con troppi passaggi avanti e indietro ... e comunque dipende dal metodo che ciascuno usa.
Per il calcolo della periodicità, non sono ferrato, verifico ogni caso a se stante ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Comunque non ho capito bene cosa intendi con la prima domanda
Ti faccio un esempio subito, così vi faccio capire che sostanzialmente i miei problemi sono di "pratica":
Mettiamo che sto all'esame, arriva il foglio con l'esercizio da svolgere e dice :
Studiare la funzione $ y=3(x^2-4x+12)/(sqrt(2x-3)^3) $.
Comincio calcolando il dominio, poi le simmetrie, intersezioni, limiti, segno. Poi ad un certo punto devo studiare la derivata prima. Allora comincio a calcolarla, naturalmente non avrò subito la forma "contratta", la forma iniziale della derivata prima dovrà essere lavorata. Comincio a scriverla sul foglio abbozzandola così:
$y'=3[(((2x-4)sqrt((2x-3)^3)-(x^2-4x+12)3(2x-3)(2/(2(sqrt(2x-3)))))/(sqrt((2x-3)^3))^2]$
Ora dovrei procedere a fare le varie semplificazioni per ottenere una forma più semplice da analizzare per studiarne il segno e i punti stazionari. Il problema arriva qui: il dominio di questa derivata prima lo calcolo ora o aspetto di avere la forma contratta? Il dubbio mi è venuto perchè andando a modificare la forma di questa sopra potrei modificarne anche il dominio della derivata prima.
La forma contratta della derivata prima è :
$y'=3(x^2-2x-24)/sqrt((2x-3)^5)$
Come vedete la forma compatta è molto più semplice da analizzare e il dominio la calcolerei MOLTO più agevolmente (in questo caso non più di tanto ma in altri casi è davvero più comodo) qui che non nella forma non lavorata. Allora ripropongo il dubbio, in quale delle due forme è più sicuro calcolare il dominio della derivata prima (e stesso discorso per la derivata seconda)??
"SheldonLeeCooper":
$y=(senx-1)/(cosx-senx)$ grazie a wolfram so che il periodo è $2pi$ ma come ci arrivo?
$y=(senx)/cosx$ e perchè invece il periodo di questa è $pi$ e non $2pi$?
Ciao.
Per quanto riguarda il dominio, io farei così:
$cos(x)-sin(x)≠0$
$cos(x)≠sin(x) $ / moltiplicando entrambi per cos(x), si ha:
$1≠sin(x)/cos(x)$
$1≠tan(x)$
$x≠arctan(1)$
Perdonami, ma la ƒ da te proposta, al denominatore è elevata alla terza l'argomento oppure la radice?
"iH8u":
Perdonami, ma la ƒ da te proposta, al denominatore è elevata alla terza l'argomento oppure la radice?
In quella funzione è elevato l'argomento, ma non sarebbe comunque indifferente, essendo un numero dispari (3) se fosse elevata la radice o l'argomento?
Comunque quello che mi interessava non era tanto il risultato vero e proprio, io ho preso un esempio a caso, mi interessava sapere quando esattamente va calcolato il dominio della derivata prima, se all'inizio o alla fine...Questo dubbio mi sta logorando l'anima
Addirittura ...
Allora, calcolalo sempre prima
Comunque, secondo me (ma è solo un'impressione, niente di formale) è sufficiente osservare le eventuali restrizioni nei vari passaggi e non dovresti mai avere problemi di validità. D'altronde se una funzione è derivabile in un certo intervallo (e questo è possibile stabilirlo a priori, normalmente), significa che la derivata esiste e quindi anche il dominio di questa è, almeno, uguale al dominio della funzione.
Cordialmente, Alex
Allora, calcolalo sempre prima
Comunque, secondo me (ma è solo un'impressione, niente di formale) è sufficiente osservare le eventuali restrizioni nei vari passaggi e non dovresti mai avere problemi di validità. D'altronde se una funzione è derivabile in un certo intervallo (e questo è possibile stabilirlo a priori, normalmente), significa che la derivata esiste e quindi anche il dominio di questa è, almeno, uguale al dominio della funzione.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Addirittura ...
Allora, calcolalo sempre prima
Comunque, secondo me (ma è solo un'impressione, niente di formale) è sufficiente osservare le eventuali restrizioni nei vari passaggi e non dovresti mai avere problemi di validità. D'altronde se una funzione è derivabile in un certo intervallo (e questo è possibile stabilirlo a priori, normalmente), significa che la derivata esiste e quindi anche il dominio di questa è, almeno, uguale al dominio della funzione.
Cordialmente, Alex
Ti ringrazio, mi accorgo di essere ridondante e prolisso ma non ho davvero nessuno che mi possa aiutare, e anche per le cose più banali ,tipo questa, ho bisogno di una conferma esterna
sennò all'esame altro che lapsus, vado in paranoia!
Ok, avere dubbi, ma non devi estremizzare. In generale, per esperienza, dopo esserti esercitato molto, penso che divenga quasi naturale notare eventuali punti problematici.
Sottopongo un altro quesito alla vostra attenzione.
Studiare la funzione:
$y={(e^(-1/x^2),if x!=0),(0,if x=0):}$
Ho provato ad impostare simmetrie, intersezioni, segno e limiti.
Come faccio però a verificare che la funzione è derivabile in $x=0$?
Conosco due metodi:
1) Calcolo il limite destro e sinistro del rapporto incrementale della funzione $y=e^(-1/x^2)$ e ne verifico l'uguaglianza;
2) Calcolo la derivata di $y=e^(-1/x^2)$ e poi ne faccio il limite destro e sinistro e ne verifico l'uguaglianza.
Quale è la differenza tra i due metodi? Quale tra i due metodi si usa alle superiori?
Ho provato a fare entrambi, ma in entrambi i casi vengono fuori limiti che non riesco a risolvere facilmente:
1) $lim_(h->0, x=0)(e^(-1/(x+h)^2)-0)/h$
2) $lim_(x->0)((2 e^(-1/x^2))/x^3)$
(e' un caso che le due forme vengano simili? C'è una relazione tra le due? )
Come mi consigliate di procedere?
Studiare la funzione:
$y={(e^(-1/x^2),if x!=0),(0,if x=0):}$
Ho provato ad impostare simmetrie, intersezioni, segno e limiti.
Come faccio però a verificare che la funzione è derivabile in $x=0$?
Conosco due metodi:
1) Calcolo il limite destro e sinistro del rapporto incrementale della funzione $y=e^(-1/x^2)$ e ne verifico l'uguaglianza;
2) Calcolo la derivata di $y=e^(-1/x^2)$ e poi ne faccio il limite destro e sinistro e ne verifico l'uguaglianza.
Quale è la differenza tra i due metodi? Quale tra i due metodi si usa alle superiori?
Ho provato a fare entrambi, ma in entrambi i casi vengono fuori limiti che non riesco a risolvere facilmente:
1) $lim_(h->0, x=0)(e^(-1/(x+h)^2)-0)/h$
2) $lim_(x->0)((2 e^(-1/x^2))/x^3)$
(e' un caso che le due forme vengano simili? C'è una relazione tra le due? )
Come mi consigliate di procedere?
"SheldonLeeCooper":
1) Calcolo il limite destro e sinistro del rapporto incrementale della funzione $y=e^(-1/x^2)$ e ne verifico l'uguaglianza;
In linea teorica è giusto, anche se è un metodo che cominci oggi e finisci tra un paio di giorni.
2) Calcolo la derivata di $y=e^(-1/x^2)$ e poi ne faccio il limite destro e sinistro e ne verifico l'uguaglianza.
Questo dovrebbe essere senz'altro migliore, anche per applicabilità. Alle superiori/università si usa questo perché nononstante il rapporto incrementale sia "davvero" la definizione di derivata, una volta trovati quei 4-5 risultati dimostrati lo si lascia dov'è perché diventa ben presto piuttosto impervio da applicare nella realtà.
2) $lim_(x->0)((2 e^(-1/x^2))/x^3)$
Questo è uno dei casi in cui con l'Hopital non vai da nessuna parte: la $x$ scende di grado dal denominatore, ma poi la derivata del numeratore aggiunge un bel - si fa per dire - $x^3$ sotto.
Potresti porre $1/x^2=t$ in modo che $t->+\infty$ e ottenere
$lim_(t-> +\infty) 2t\sqrt(t)e^(-t)$
e in teoria per le gerarchie degli infiniti si può anche rispondere subito senza sporcarsi più di tanto le mani.
"Zero87":
[quote="SheldonLeeCooper"]1) Calcolo il limite destro e sinistro del rapporto incrementale della funzione $ y=e^(-1/x^2) $ e ne verifico l'uguaglianza;
In linea teorica è giusto, anche se è un metodo che cominci oggi e finisci tra un paio di giorni.
[/quote]Perfetto mi è sufficiente sapere che l'impostazione che avevo pensato era giusta
"Zero87":2) Calcolo la derivata di $ y=e^(-1/x^2) $ e poi ne faccio il limite destro e sinistro e ne verifico l'uguaglianza.
Questo dovrebbe essere senz'altro migliore, anche per applicabilità. Alle superiori/università si usa questo perché nononstante il rapporto incrementale sia "davvero" la definizione di derivata, una volta trovati quei 4-5 risultati dimostrati lo si lascia dov'è perché diventa ben presto piuttosto impervio da applicare nella realtà.
Anche qui, ora so che quello è il mezzo utilizzato nella "pratica". Certe cose sul libro non sono scritte e all'atto pratico spesso mi trovo impacciato. Vi chiedo cortesemente di indicarmi, come adesso, quali sono i metodi usati di norma al liceo, anche a costo di essere "un pò meno formali", solo per questioni operative
"Zero87":2) $ lim_(x->0)((2 e^(-1/x^2))/x^3) $
Questo è uno dei casi in cui con l'Hopital non vai da nessuna parte: la $ x $ scende di grado dal denominatore, ma poi la derivata del numeratore aggiunge un bel - si fa per dire - $ x^3 $ sotto.
Potresti porre $ 1/x^2=t $ in modo che $ t->+\infty $ e ottenere
$ lim_(t-> +\infty) 2t\sqrt(t)e^(-t) $
e in teoria per le gerarchie degli infiniti si può anche rispondere subito senza sporcarsi più di tanto le mani.
Ho tentato di risolverlo in tutti i modi possibili, dopo essermi reso conto che l'Hopital non sarebbe servito. Terrò questo limite da parte per quando avrò "integrato" le cose che si studiano al liceo scientifico con quelle che si fanno in più all'università (simboli di Landau, confronto asintotico, risoluzione dei limiti con le gerarchie degli infiniti e infinitesimi,...) così ho tempo di digerire per bene questi argomenti.
Non finirò mai di ringraziarvi abbastanza.
Detto questo, parlandovi un po' di me, oggi ho contato che mancano esattamente 50 giorni all'esame. Devo ancora fare i seguenti argomenti:
- Integrali indefiniti;
- Integrali definiti;
- Integrazione Simboli di Landau e compagnia bella, agli argomenti precedenti.
- Numeri Complessi;
- Equazioni differenziali lineari del 1° e 2° ordine;
Di Analisi 2 invece:
- Limiti e continuità delle funzioni a più variabili (cenni), dominio naturale (cenni);
- Derivate direzionali e parziali delle funzioni a valori scalari (cenni);
- Differenziabilità delle funzioni a valori scalari (cenni);
- Integrali doppi (su rettangoli) (cenni);
Penso che ci vorrà un mese buono solo per finire Analisi 1, mentre per Analisi 2 non ho la più pallida idea
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo