Dubbi con infiniti e infinitesimi e polinomio di taylor
Allora mi affido a voi perché ho dei problemi con infiniti e infinitesimi e con il polinomio di Taylor.
La prima domanda è:
se ho un un espressione come la seguente
$ x+x^2-2xsqrtx $
In cui i termini mi tendono tutti a zero per x che tende a 0, posso tenere conto solo del comportamento di x tanto gli altri sono infinitesimi di ordine superiore a x, scrivendo $ x +o(x) $ ?
E quindi se mi trovo davanti a infinitesimi tengo conto dell'infinitesimi di ordine inferiore, mettendo gli altri "dentro" o piccolo?
Nel caso invece di infiniti, tengo conto di quelli di ordine superiore?
Perché riflettendo su questo ho pensato che in un espressione come quella di sopra quando $ x^2-2xsqrtx $, per x che tende a zero, sono infinitesimi la $ x $ ancora non lo è e quindi influenzerà con il proprio valore l' espressione... È giusto questo ragionamento?
Seconda domanda:
Come si fa a capire fino a che ordine devo sviluppare il polinomio di Taylor?
La prima domanda è:
se ho un un espressione come la seguente
$ x+x^2-2xsqrtx $
In cui i termini mi tendono tutti a zero per x che tende a 0, posso tenere conto solo del comportamento di x tanto gli altri sono infinitesimi di ordine superiore a x, scrivendo $ x +o(x) $ ?
E quindi se mi trovo davanti a infinitesimi tengo conto dell'infinitesimi di ordine inferiore, mettendo gli altri "dentro" o piccolo?
Nel caso invece di infiniti, tengo conto di quelli di ordine superiore?
Perché riflettendo su questo ho pensato che in un espressione come quella di sopra quando $ x^2-2xsqrtx $, per x che tende a zero, sono infinitesimi la $ x $ ancora non lo è e quindi influenzerà con il proprio valore l' espressione... È giusto questo ragionamento?
Seconda domanda:
Come si fa a capire fino a che ordine devo sviluppare il polinomio di Taylor?
Risposte
Quello che asserisci penso sia giusto, in un espressione polinomiale finita come ad esempio quella da te riportata:
$x+x^2+x^(3/2)$ per $x->0$ prevale l'infinitesimo $x$, e quindi possiamo scrivere $x+o(x)$, diversamente invece se
$x->infty $ allora prevale l'infinito $x^2$ e quindi possiamo scrivere $x^2+O(x^2)$??
ad esempio e' per $x->infty $
$(sinx+x^2)~x^2$, in quanto sinx e' limitata
Se invece hai una di quelle funzioni elementari tipo $sinx$ che si possono approssimare mediante una serie polinomiale infinita,
$sinx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)+..... $, per $x->0$ sicuramente
prevale il termine $x $ quindi si può approssimare ed e' $x+o (x) $, cioe' $sinx~x $, ma invece per $x->infty$ cosa succede?
Magari aspettiamo l'intervento di qualcuno che e' piu' esperto di me!
$x+x^2+x^(3/2)$ per $x->0$ prevale l'infinitesimo $x$, e quindi possiamo scrivere $x+o(x)$, diversamente invece se
$x->infty $ allora prevale l'infinito $x^2$ e quindi possiamo scrivere $x^2+O(x^2)$??
ad esempio e' per $x->infty $
$(sinx+x^2)~x^2$, in quanto sinx e' limitata
Se invece hai una di quelle funzioni elementari tipo $sinx$ che si possono approssimare mediante una serie polinomiale infinita,
$sinx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)+..... $, per $x->0$ sicuramente
prevale il termine $x $ quindi si può approssimare ed e' $x+o (x) $, cioe' $sinx~x $, ma invece per $x->infty$ cosa succede?
Magari aspettiamo l'intervento di qualcuno che e' piu' esperto di me!
Quindi in un espressione dove ho infinitesimi devo tener conto sempre dell' infinitesimo di ordine inferiore?
Mentre in un espressione di infiniti di quelli di ordine superiore, giusto?
Ad esempio presa:
$ e^x - x $ per $ x -> ∞ $
Avrei una forma indeterminata del tipo di $ ∞ - ∞ $
Ma con il ragionamento fatto posso ridurla a $ e^x + o(e^x) $ per $ x -> ∞ $ e dire che tale espressione tende ad infinito? È giusto?
Mentre in quella precedente tenevo conto solo di $ x $ visto che era quella di ordine inferiore?
Mentre in un espressione di infiniti di quelli di ordine superiore, giusto?
Ad esempio presa:
$ e^x - x $ per $ x -> ∞ $
Avrei una forma indeterminata del tipo di $ ∞ - ∞ $
Ma con il ragionamento fatto posso ridurla a $ e^x + o(e^x) $ per $ x -> ∞ $ e dire che tale espressione tende ad infinito? È giusto?
Mentre in quella precedente tenevo conto solo di $ x $ visto che era quella di ordine inferiore?
In $e^x-x $ per $x->infty $ prevale il termine esponenziale $e^x$quindi possiamo scrivere $(e^x-x)~e^x $ e chiaramente va ad $+infty $
Quindi dici che sia giusto quello che ho detto? Riassunto:
-confronto infiniti: tengo conto dell'infinito di ordine superiore
-Confronto infinitesimi: tengo conto dell'infinitesimo di ordine inferiore
Aspettiamo magari qualcun'altro che ce lo confermi
Invece per la seconda domanda mi sai aiutare?
Ho anche un altra domanda:
Se in un limite alla fine rimango con $( -x+ o(x))/(πx+ o(x)) $
So che fa $ -1/π $ ma con o piccolo come mi comporto? Rimane $ o(x) $ o diventa qualcos'altro?
-confronto infiniti: tengo conto dell'infinito di ordine superiore
-Confronto infinitesimi: tengo conto dell'infinitesimo di ordine inferiore
Aspettiamo magari qualcun'altro che ce lo confermi
Invece per la seconda domanda mi sai aiutare?
Ho anche un altra domanda:
Se in un limite alla fine rimango con $( -x+ o(x))/(πx+ o(x)) $
So che fa $ -1/π $ ma con o piccolo come mi comporto? Rimane $ o(x) $ o diventa qualcos'altro?
Per $x->0$ trattandosi di somme l'infinitesimo di ordine superiore e' trascurabile per cui dovrebbe essere $-x+o(x)=-x $,
ed $(pi)x+o(x)=(pi)x $, da cui $lim_(x->0)-x/((pi)x)=-1/(pi)$, penso sia così, non ho molta familiarità con la notazione degli o - piccolo, O-grande , aspettiamo qualche altro parere, comunque quello che hai scritto sopra mi sembra corretto.
ed $(pi)x+o(x)=(pi)x $, da cui $lim_(x->0)-x/((pi)x)=-1/(pi)$, penso sia così, non ho molta familiarità con la notazione degli o - piccolo, O-grande , aspettiamo qualche altro parere, comunque quello che hai scritto sopra mi sembra corretto.
"marco_1004":E' corretto.
-confronto infiniti: tengo conto dell'infinito di ordine superiore
-Confronto infinitesimi: tengo conto dell'infinitesimo di ordine inferiore
Per la seconda domanda,
"marco_1004":l'unica risposta sensata mi pare possa essere: dipende dalla necessità.
Come si fa a capire fino a che ordine devo sviluppare il polinomio di Taylor?
Un esempio facile facile: per trovare l'ordine di infinitesimo di $(1-cosx)$ per $x to 0$ basta sviluppare fino all'ordine 2 per ottienere:
$1-cosx=1-1+x^2/2+o(x^2)=x^2/2+o(x^2)$;
se volessi invece l'ordine di infinitesimo di: $1-x^2/2-cosx$, sviluppare fino al second'ordine non mi permette di
arrivare a niente di preciso (l'informazione: $1-x^2/2-cosx=o(x^2)$ è un troppo vaga rispetto alla richiesta); è necessario pertanto allungare lo sviluppo di $cosx$ almeno fino all'ordine superiore al secondo, così ho:
$1-x^2/2-cosx=-x^4/(4!)+o(x^4)$.
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