Dubbi base di analisi funzionale
ciao 
volevo esporre dei dubbi basilari di analisi funzionale..
1. ho un po' di difficoltà a comprendere la nozione di spazio normato..
si definisce uno spazio normato quando avente una norma di uno dei suoi elementi, la qual norma si dimostra avere le proprietà di un funzionale.. la norma è dunque una forma di metrica, un funzionale?
inoltre: esistono spazi non normati?
2. $C^0([a;b])$ è uno spazio incompleto nella metrica dell'integrale; si dimostra infatti che vi sono successioni di Cauchy di funzioni continue convergenti a funzioni discontinue.. mi chiedevo: si parla di convergenza puntuale? Dato che la f somma non potrebbe essere discontinua, nel caso di convergenza uniforme..
espongo il mio ragionamento: si potrebbe dire che $C^0(I)$ è completo nella metrica integrale, dove $I$ è confinato dai punti nei quali cambia il limite puntuale rendendo la funzione limite discontinua? Un po' come quando si parla di regioni del piano semplicemente connesse in cui un certo campo vettoriale è definito ed è dunque locamente conservativo..
vi ringrazio
vi ringrazio
volevo esporre dei dubbi basilari di analisi funzionale..
1. ho un po' di difficoltà a comprendere la nozione di spazio normato..
si definisce uno spazio normato quando avente una norma di uno dei suoi elementi, la qual norma si dimostra avere le proprietà di un funzionale.. la norma è dunque una forma di metrica, un funzionale?
inoltre: esistono spazi non normati?
2. $C^0([a;b])$ è uno spazio incompleto nella metrica dell'integrale; si dimostra infatti che vi sono successioni di Cauchy di funzioni continue convergenti a funzioni discontinue.. mi chiedevo: si parla di convergenza puntuale? Dato che la f somma non potrebbe essere discontinua, nel caso di convergenza uniforme..
espongo il mio ragionamento: si potrebbe dire che $C^0(I)$ è completo nella metrica integrale, dove $I$ è confinato dai punti nei quali cambia il limite puntuale rendendo la funzione limite discontinua? Un po' come quando si parla di regioni del piano semplicemente connesse in cui un certo campo vettoriale è definito ed è dunque locamente conservativo..
vi ringrazio
vi ringrazio
Risposte
1. Una norma è una norma 
Se per funzionale intendi una cosa che mangia vettori e sputa scalari, allora sì, la norma è un funzionale (e mi sembra ovvio). Immagino che la definizione che utilizzi sia meno generale.
Se sul tuo spazio $V$ è definita una norma $"||"\cdot"||"$, ottieni una metrica $d$ su $V$ definendo
\[\forall u,v\in V\qquad d(u,v):=\|u-v\|\]
Dunque se hai una norma hai anche una metrica, mentre non vale il viceversa. In particolare esistono metriche che non sono indotte da norme (per esempio, $d(x,y)=|e^x-e^y|$ su $RR$). In questo senso esistono spazi (metrici) non normati.
2.
Scusa, hai parlato di metrica integrale - che immagino sia quella di $L^1$, cioè $d(f,g)=\int_a^b |f(x)-g(x)|\ "d"x$, o di qualche altro $L^p$ - quindi cosa c'entra la convergenza puntuale?
Nella metrica di $L^1$ puoi trovare successioni di funzioni continue che convergono a funzioni discontinue. Per esempio, considera questa successione di $C^0([0,1])$:
\[f_n(x):=\begin{cases}
0& 0\le x\le\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\\
\frac{n}{2}(x-1/2+1/n)&\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\le x< \frac{1}{2}+\frac{1}{n}\\
1& \frac{1}{2}+\frac{1}{n}< x\le 1
\end{cases}\]
Tra $1/2-1/n$ e $1/2+1/n$ il grafico di $f_n$ è il segmento che congiunge $(1/2-1/n,0)$ e $(1/2+1/n,1)$. Questa successione converge nella metrica di $L^1$ al suo limite puntuale, che non è una funzione di $C^0([0,1])$:
\[f(x):=\begin{cases}
0& 0\le x<\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}& x=\frac{1}{2}\\
1& \frac{1}{2}< x\le 1
\end{cases}\]
Infatti
\[\int_0^1|f_n(x)-f(x)|\,\text{d}x=\frac{1}{2n}\stackrel{n\to\infty}{\to}0\]
Un disegno ti rende il calcolo immediato.
Deduci che $C^0([0,1])$, con la metrica integrale, non è uno spazio completo: esistono successioni di Cauchy ($f_n$ è convergente, quindi a maggior ragione è di Cauchy) che non convergono a un elemento dello spazio.
Se per funzionale intendi una cosa che mangia vettori e sputa scalari, allora sì, la norma è un funzionale (e mi sembra ovvio). Immagino che la definizione che utilizzi sia meno generale. Se sul tuo spazio $V$ è definita una norma $"||"\cdot"||"$, ottieni una metrica $d$ su $V$ definendo
\[\forall u,v\in V\qquad d(u,v):=\|u-v\|\]
Dunque se hai una norma hai anche una metrica, mentre non vale il viceversa. In particolare esistono metriche che non sono indotte da norme (per esempio, $d(x,y)=|e^x-e^y|$ su $RR$). In questo senso esistono spazi (metrici) non normati.
2.
"Suv":
2. C0([a;b]) è uno spazio incompleto nella metrica dell'integrale; si dimostra infatti che vi sono successioni di Cauchy di funzioni continue convergenti a funzioni discontinue.. mi chiedevo: si parla di convergenza puntuale?
Scusa, hai parlato di metrica integrale - che immagino sia quella di $L^1$, cioè $d(f,g)=\int_a^b |f(x)-g(x)|\ "d"x$, o di qualche altro $L^p$ - quindi cosa c'entra la convergenza puntuale?
Nella metrica di $L^1$ puoi trovare successioni di funzioni continue che convergono a funzioni discontinue. Per esempio, considera questa successione di $C^0([0,1])$:
\[f_n(x):=\begin{cases}
0& 0\le x\le\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\\
\frac{n}{2}(x-1/2+1/n)&\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\le x< \frac{1}{2}+\frac{1}{n}\\
1& \frac{1}{2}+\frac{1}{n}< x\le 1
\end{cases}\]
Tra $1/2-1/n$ e $1/2+1/n$ il grafico di $f_n$ è il segmento che congiunge $(1/2-1/n,0)$ e $(1/2+1/n,1)$. Questa successione converge nella metrica di $L^1$ al suo limite puntuale, che non è una funzione di $C^0([0,1])$:
\[f(x):=\begin{cases}
0& 0\le x<\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}& x=\frac{1}{2}\\
1& \frac{1}{2}< x\le 1
\end{cases}\]
Infatti
\[\int_0^1|f_n(x)-f(x)|\,\text{d}x=\frac{1}{2n}\stackrel{n\to\infty}{\to}0\]
Un disegno ti rende il calcolo immediato.
Deduci che $C^0([0,1])$, con la metrica integrale, non è uno spazio completo: esistono successioni di Cauchy ($f_n$ è convergente, quindi a maggior ragione è di Cauchy) che non convergono a un elemento dello spazio.
grazie, ora mi è chiaro
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