Duale di uno spazio normato

[qwertyuio1]

Ciao, sto provando a dimostrare che se X è uno spazio normato allora X* (insieme delle funzioni lineari continue da X a R) è uno spazio di Banach.
Il problema è far vedere che X* è completo:
-prendo $(f_n)$ successione di Cauchy in X*
-faccio vedere che $(f_n(x))$ è di Cauchy in R per ogni x e quindi, per la completezza di R, $f_n(x)->f(x)$ per ogni x.
-faccio vedere che f sta ancora in X*
-a questo punto devo dimostrare solo che $f_n->f$ in norma X* ed è qui che mi blocco.
Potete aiutarmi a terminare la dimostrazione?
Grazie!

[cirasa]

Ti ricordo che sai per ipotesi che
[tex]\forall \varepsilon>0\ \exists \nu\in\mathbb{N}\textrm{ t.c. }\forall n,m\geq\nu:\ \|f_n-f_m\|<\varepsilon[/tex]
cioè che (sfruttando la linearità di [tex]f_n[/tex] e [tex]f[/tex])
[tex]\forall \varepsilon>0\ \exists \nu\in\mathbb{N}\textrm{ t.c. }\forall n,m\geq\nu\ \forall x\in X:\ |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon\|x\|[/tex]
Cosa succede se fai tendere [tex]m\to\infty[/tex]?