Dove sbaglio???!!!! Equazione differenziale
Salve a tutti ! è il terzo post che scrivo e spero che qualcuno questa volta mi risponda ! Ho l'equazione $ x' = -x^3 $ devo discutere la stabilità della soluzione nulla e devo anche dire che è asintoticamete stabile ! Ora io quell'equazione l'ho riscritta in questo modo : $ x'=y $ $ y'= -3x^2 $ , non riesco a trovare nesuna funzione di Lyapunov ,ho provato in tutti i modi ! Ho visto con la funzione $ V(x,y)=x^2+y^2 $ , ho provato con $ V(x,y)=ax^(2n)+by^(2m) $ determinando a,b e m,n in modo tale che mi venga che V è definita positiva in un intorno dell'origine e che la derivata di V mi venga definita negativa...ma niente ! Ho provato pure a trovare una costante del moto per vedere se l'origine è un punto di minimo,ma nulla ! Mi è venuto però un dubbio ! Forse ho scritto male il mio sistema iniziale ??? Cioè è giusto come ho riscritto l'equazione $ x'=y $ $ y'= -3x^2 $ ???
Grazie a tutti quelli che mi risponderanno !!!!
Grazie a tutti quelli che mi risponderanno !!!!
Risposte
Non ho capito: hai una singola equazione differenziale del primo ordine e la trasformi in un sistema?
Si ho capito....infatti mi sono collegata per cancellare la mia domanda....ciao ciao
Ciao studiando anch'io la stabilità cercavo chiarimenti in merito e ho incontrato il tuo post. Ti pongo alcune domande :
Sei sicuro che la costante del moto debba necessariamente avere un punto di minimo? o anche un max?
--perche' da quanto si evince dai miei appunti di fisica matematica : " se una costante del moto $F(x)$ ha massimo o un minimo stretto (o proprio) nel punto di equilibrio c $in$ D allora certamente c è stabile..
infatti la costante del moto puoi determinarla cosi
$\{(x'=y),(y'=-3x^2):}$
$\{(dx=ydt),(dy=-3x^2dt):}$
$\{(-3x^2dx=y(-3x^2)dt),(ydy=-3x^2ydt):}$
sottrai membro a mebro e ottieni il differenziale:
$-3x^2dx-ydy=0$
ora sai che il differenziale per definizione è dato per una generica funzione $ E(x,y)$ dalla seguente $ E(x,y)*\grad E $
quindi la tua costante del moto è l'integrale del differenziale :
$E(x,y) = -x^3-(y^2)/2$ e se vai a vedere il gradiente di questa funzione si annulla per $x=0, y=0$ e quindi puoi concludere secondo la teoria degli invarianti che $c$ è un punto di equilibrio stabile .
fammi sapere ciao
Sei sicuro che la costante del moto debba necessariamente avere un punto di minimo? o anche un max?
--perche' da quanto si evince dai miei appunti di fisica matematica : " se una costante del moto $F(x)$ ha massimo o un minimo stretto (o proprio) nel punto di equilibrio c $in$ D allora certamente c è stabile..
infatti la costante del moto puoi determinarla cosi
$\{(x'=y),(y'=-3x^2):}$
$\{(dx=ydt),(dy=-3x^2dt):}$
$\{(-3x^2dx=y(-3x^2)dt),(ydy=-3x^2ydt):}$
sottrai membro a mebro e ottieni il differenziale:
$-3x^2dx-ydy=0$
ora sai che il differenziale per definizione è dato per una generica funzione $ E(x,y)$ dalla seguente $ E(x,y)*\grad E $
quindi la tua costante del moto è l'integrale del differenziale :
$E(x,y) = -x^3-(y^2)/2$ e se vai a vedere il gradiente di questa funzione si annulla per $x=0, y=0$ e quindi puoi concludere secondo la teoria degli invarianti che $c$ è un punto di equilibrio stabile .
fammi sapere ciao
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