Dove la funzione è maggiore di zero
Buon pomeriggio ragazzi, stavo facendo degli esercizi sullo studio della funzione e mi sono imbattuta in questo:
$ f(x)=(3x+1)/(x+1) -2arctanx $
Stavo per verificare per quali x la funzione risulti maggiore di zero ma mi sono bloccata
Ho provato a ragionare sul fatto che l'arctanx assuma valori compresi tra -pi/2 e +pi/2 ma non riesco ad andare avanti
Potreste darmi una mano?
Grazie in anticipo
$ f(x)=(3x+1)/(x+1) -2arctanx $
Stavo per verificare per quali x la funzione risulti maggiore di zero ma mi sono bloccata
Ho provato a ragionare sul fatto che l'arctanx assuma valori compresi tra -pi/2 e +pi/2 ma non riesco ad andare avanti
Potreste darmi una mano?
Grazie in anticipo
Risposte
Io farei uno "studio" veloce della funzione. Il dominio è $(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)$. Inoltre, per i limiti si ha
$$\lim_{x\to-\infty} f(x)=3+\pi>0,\qquad \lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty\\ \lim_{x\to-1^+}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=3-\pi<0$$
Puoi vedere pure che la derivata risulta
$$f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}-\frac{2}{x^2+1}=-\frac{4x}{(x+1)^2(x^2+1)}$$
che pertanto cresce per $x<0$ e decresce per $x>0$, avendo un massimo (relativo) in $x=0$, $f(0)=1$.
Da questo puoi dedurre quanto segue: su $(-\infty,-1)$ la funzione passa da un valore positivo, asintotico, $3+\pi$ a $+\infty$ crescendo, pertanto non possono esserci intersezioni con l'asse $x$ e quindi cambiamenti di segno.
Su $(-1,+\infty)$, invece, la funzione passa da $-\infty$ al valore asintotico $3-\pi$ prima crescendo fino al valore $1$ e poi decrescendo: ne segue ci sono due punti di intersezione con l'asse $x$ che chiamiamo $\alpha\in(-1,0),\ \beta\in(0,+\infty)$.
Possiamo allora concludere che la funzione risulta positiva sui seguenti intervalli: $(-\infty,-1)\cup(\alpha,\beta)$
P.S.: se provi a disegnarla, puoi convincerti più facilmente di quanto ho detto.
$$\lim_{x\to-\infty} f(x)=3+\pi>0,\qquad \lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty\\ \lim_{x\to-1^+}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=3-\pi<0$$
Puoi vedere pure che la derivata risulta
$$f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}-\frac{2}{x^2+1}=-\frac{4x}{(x+1)^2(x^2+1)}$$
che pertanto cresce per $x<0$ e decresce per $x>0$, avendo un massimo (relativo) in $x=0$, $f(0)=1$.
Da questo puoi dedurre quanto segue: su $(-\infty,-1)$ la funzione passa da un valore positivo, asintotico, $3+\pi$ a $+\infty$ crescendo, pertanto non possono esserci intersezioni con l'asse $x$ e quindi cambiamenti di segno.
Su $(-1,+\infty)$, invece, la funzione passa da $-\infty$ al valore asintotico $3-\pi$ prima crescendo fino al valore $1$ e poi decrescendo: ne segue ci sono due punti di intersezione con l'asse $x$ che chiamiamo $\alpha\in(-1,0),\ \beta\in(0,+\infty)$.
Possiamo allora concludere che la funzione risulta positiva sui seguenti intervalli: $(-\infty,-1)\cup(\alpha,\beta)$
P.S.: se provi a disegnarla, puoi convincerti più facilmente di quanto ho detto.
Ciao katia89,
ciampax ti ha già risposto correttamente, per cui non mi dilungo. Se vuoi avere un'idea dei valori di $\alpha$ e $\beta$ citati da ciampax:
$frac{3x+1}{x+1} -2arctanx \ge 0 \implies arctan x \le frac{3x+1}{2x+2}$
Si tratta dunque di vedere dove la ben nota funzione $y = arctan x$ sta sotto la funzione omografica $y = frac{3x+1}{2x+2}$. Si trova $\alpha ~= - 0,5$ e $\beta ~= 3$. Se poi desideri valori numerici più precisi li puoi trovare con l'aiuto di WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=arctan+x+%3D+(3x+%2B+1)%2F(2x+%2B+2)
ciampax ti ha già risposto correttamente, per cui non mi dilungo. Se vuoi avere un'idea dei valori di $\alpha$ e $\beta$ citati da ciampax:
$frac{3x+1}{x+1} -2arctanx \ge 0 \implies arctan x \le frac{3x+1}{2x+2}$
Si tratta dunque di vedere dove la ben nota funzione $y = arctan x$ sta sotto la funzione omografica $y = frac{3x+1}{2x+2}$. Si trova $\alpha ~= - 0,5$ e $\beta ~= 3$. Se poi desideri valori numerici più precisi li puoi trovare con l'aiuto di WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=arctan+x+%3D+(3x+%2B+1)%2F(2x+%2B+2)
Grazie mille ragazzi, siete stati gentilissimi!
Grazie per il "ragazzi"... 
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