Dove converge totalmente questa serie di funzioni?

[dan89-votailprof]

La serie è

$\sum_{n=1}^infty x^n/n^x$

Ho già verificato convergere assolutamente e puntualmente in $]-1, 1[$.

Voi come direste dove questa serie converge totalmente?

[Gaal Dornick]

Come al solito, la definizione: qual è la definizione di convergenza totale?
Prova ad applicarla..

[dan89-votailprof]

Non mi sembra così immediata, guarda che ho già provato, non è che non lo so fare, è che mi è risultato difficoltoso proprio il calcolo XD

Devo o trovare una serie convergente che maggiori la serie data (in valore assoluto), oppure la serie del sup della funzione in valore assoluto deve convergere.

[gugo82]

I valori assoluti degli addendi sono tutti dotati di massimo assoluto (almeno su insiemi limitati inferiormente...), che può essere determinato facilmente con i soliti strumenti del Calcolo Differenziale (provare per credere, facendo bene i conti).
Il problema è che la serie dei massimi è mooolto divergente, quindi la serie non converge totalmente in $RR$.

Andando a studiare la monotonia degli addendi si vede abbastanza facilmente cosa succede in $]-1,1[$, mi pare.

[dan89-votailprof]

Scusate eh, in $]-1, 1[$, la funzione è decrescente in $]-1,0[$ e crescente in $[0, 1[$, per cui cerco il sup della funzione nei punti -1 e 1.

Il sup della funzione è la funzione calcolata in -1. Vale n, che ovviamente diverge.

Restringo allora lo studio della funzione all'intervallo $[-K, 1[$ con $k>1$.

A questo punto ottengo che la funzione in -k vale: $k^n*n^k$ mentre la funzione in 1 vale $1/n$.


Ora, come faccio a dire quale dei due è il sup? Insomma quale dei due è il più grande?

[gugo82]

Non dovrebbe essere $0
In tal caso, risultando $(K^n*n^K)/(1/n)=K^n*n^(K+1)\to 0$ hai pure $K^n*n^K <1/n$ definitivamente, quindi da un certo indice in poi trovi che l'estremo superiore degli addendi in $]-K,1[$ è $1/n$.

Da questo concludi subito che ti "danno fastidio" sia $-1$ sia $1$; quindi sarebbe opportuno vedere che succede per $[-K,K]$ con $0

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[dan89-votailprof]

Si scusa volevo dire $0
Cercavo un modo rapido per calcolare quale dei due fosse maggiore....voglio però essere sicuro di aver capito quello che vuoi dirmi.

In base a cosa stiamo dicendo che che $K^n*n^k<1/n$ definitivamente?

Scusa la domanda un pò sciocca

[gugo82]

"Cod":In base a cosa stiamo dicendo che che $K^n*n^k<1/n$ definitivamente?

In base alla definizione di limite.

Infatti se $(K^n*n^K)/(1/n) \to 0$, per definizione di limite con $epsilon =1$ trovi $nu in NN$ in modo che:

$AA n > nu , (K^n*n^K)/(1/n) <1 \quad$,

da cui trai $K^n*n^K <1/n$ definitivamente (ossia per $n>nu$).

[dan89-votailprof]

Ok perfetto grazie