Doppia sommatoria con indici dipendenti
Quando ho una doppia sommattoria in generale si ha $\sum_(i in I) sum_(j in J) a_(ij)$.
Ora mi è chiaro quando i due indici sono indipendenti uno dall'altro, invece quando l'indice interno dipende da quello esterno non riesco a capire come caratterizzare l'insieme $J$.
Per esempio in questa sommattoria: $\sum_{i=1}^N sum_{j=1}^i a_(ij)$ quale sarebbe l'insieme $J$?
Ora mi è chiaro quando i due indici sono indipendenti uno dall'altro, invece quando l'indice interno dipende da quello esterno non riesco a capire come caratterizzare l'insieme $J$.
Per esempio in questa sommattoria: $\sum_{i=1}^N sum_{j=1}^i a_(ij)$ quale sarebbe l'insieme $J$?
Risposte
Per ogni $i\inI$, l'insieme $J$ è diverso, dipende da $i$; infatti non è corretto denotarlo così, andrebbe chiamato $J_i$.
In quel caso $AA1<=i<=n, J_i={j|1<=j<=i}$.
In quel caso $AA1<=i<=n, J_i={j|1<=j<=i}$.
Ok, è come immaginavo.
Quindi quando ho una sommattoria come nell'esempio, l'insieme su cui è indicizzata sarebbe:
$uuu_{i=1}^N {i}$x${j|1<=j<=i}$ , corretto?
Inoltre l'uso della doppia sommatoria in questo caso non sarebbe un abuso di notazione?
Quindi quando ho una sommattoria come nell'esempio, l'insieme su cui è indicizzata sarebbe:
$uuu_{i=1}^N {i}$x${j|1<=j<=i}$ , corretto?
Inoltre l'uso della doppia sommatoria in questo caso non sarebbe un abuso di notazione?
Ciao, si dice "sommatoria", con una sola "t". Ho corretto il titolo.
"Daniele_98":
Quindi quando ho una sommattoria come nell'esempio, l'insieme su cui è indicizzata sarebbe: $uuu_{i=1}^N {i}$x${j|1<=j<=i}$ , corretto?
Si, che è ${(i,j)|1<=j<=i<=n}$, ossia un triangolo discreto.
Inoltre l'uso della doppia sommatoria in questo caso non sarebbe un abuso di notazione?
No, nessun abuso. La sommatoria a destra è più interna dell'altra e si "esaurisce" prima dell'altra.
@ Daniele _98: La cosa più semplice da fare in questi casi è scrivere esplicitamente la sommatoria in un caso (cioè per un valore fissato di $N$, e.g. per $N=4$) e vedere cosa succede.
In questo modo puoi anche renderti conto del fatto che, ad esempio, vale l'uguaglianza:
$sum_(i=1)^N sum_(j=1)^i a_(ij) = sum_(j=1)^N sum_(i=j)^N a_(ij)$.
In questo modo puoi anche renderti conto del fatto che, ad esempio, vale l'uguaglianza:
$sum_(i=1)^N sum_(j=1)^i a_(ij) = sum_(j=1)^N sum_(i=j)^N a_(ij)$.
Ok, ma allora quando si trova scritto che una doppia sommatoria si scrive in generale come $sum_(i in I) sum_(j in J) a_(ij)$, in realtà ci si sta riferendo a solo quelle doppie sommatorie dove l'indice interno non dipende da quello esterno, giusto?
Non mi è chiaro quale sia il tuo dubbio, per esempio come risolveresti questa?
$sum_(k)^n sum_(i)^k i = ?$
$sum_(k)^n sum_(i)^k i = ?$
"Daniele_98":
Ok, ma allora quando si trova scritto che una doppia sommatoria si scrive in generale come $sum_(i in I) sum_(j in J) a_(ij)$, in realtà ci si sta riferendo a solo quelle doppie sommatorie dove l'indice interno non dipende da quello esterno, giusto?
Si esatto, per la precisione è l'insieme degli indici interni che è costante: $J_(i_1)=J_(i_2) AAi_1,i_2\inI$.
Ok, grazie per il chiarimento.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo