Dominio,segno ed estremi relativi di una funzione a due variabili

[nic1988]

Buon giorno a tutti avrei bisogno di un parere sullo svolgimento del seguente esercizio:

Data la funzione

$f(x,y)=(x-1)^2log(x+y+1)$

Determinare:
1)L'insieme di definizione
2)Il segno della funzione
3)Eventuali massimi e minimi relativi

1)Siccome $(x-1)^2$ è definito su tutto $R$ ma il logaritmo è definito solo se maggiore di zero ho scritto il dominio così:

$D={(x,y) in R^2 : x+y+1 > 0}$



cioè al di sopra della retta di equazione $y=-x-1$

2) $(x-1)^2log(x+y+1)>=0$
$(x+y+1)>0$
Quindi la funzione è positiva al di sopra della retta $y=-x-1$ e negativa al di sotto della stessa mentre invece si annulla sulla medesima retta.

3) Calcolo le derivate parziali e le metto a sistema

$f_x=0 => (x-1)2log(x+y+1)+(x-1)^2/(x+y+1)=0$
$f_y=0 =>(x-1)^2/(x+y+1)=0 $

A questo punto mi arrivano i problemi nel risolvere il sistema. Ho pensato di sottrarre la seconda equazione alla prima e ottengo

$(x-1)2log(x+y+1)=0$

Applico la formula per "eliminare" il logaritmo ed ottengo

$2(x-1)(x+y+1)=1$

$2x-2=1 => x=3/2$
$x+y+1=1 => y=-x$

Il sistema è svolto in modo corretto? Se si posso dire che i punti critici sono dati da tutte le coppie $(3/2 , y=-x)$ cioè $(3/2 , - 3/2)$ ?

Credo di no perché quando sostituisco i valori nel sistema per la verifica non trovo l'uguaglianza con zero.

Secondo problema quando svolgo le derivate parziali miste $f_(xy)$ e $f_(yx)$ (che devono essere uguali) per scrivere la matrice Hessiana mi vengono diverse? Ho sbagliate le derivate parziali $f_x$ e $f_y$ e di conseguenza i punti critici o sbaglio le derivate parziali liste?

Grazie in anticipo a tutti

[ciampax]

2) La disequazione $(x-1)^2\log(x+y+1)\ge 0$ equivale a $x+y+1\ge 1$ e quindi $x+y\ge 0$ o anche $y\ge -x$, per cui la funzione è positiva sopra la bisettrice del II e IV quadrante, negativa nella fascia compresa tra questa bisettrice e la rette che delimita il dominio e si annulla sulla bisettrice e sulla retta di equazione $x=1$.

3)Di nuovo commetti errori: il sistema che devi studiare è quello delle due equazioni seguenti
$$2(x-1)\cdot \log(x+y+1)=0,\ \frac{(x-1)^2}{x+y+1}=0$$
e dal momento che sul dominio $x+y+1>0$ possiamo scrivere semplicemente
$$2(x-1)\cdot\log(x+y+1)=0,\ (x-1)^2=0$$
La seconda equazione ha come soluzione $x=1$ che, sostituito nella prima, rende sempre l'uguaglianza verificata. Pertanto tutti i punti del tipo $(1,y),\ y> -2$,cioè i punti appartenenti alla retta $x=1$ e che si trovano nel dominio sono punti stazionari.

Per capire cosa succede, disegna il dominio e questa retta: segna poi quali sono le regioni del dominio in cui la funzione è positiva, negativa e nulla e fatti un idea di come potrebbe essere fatto il grafico: questo ti dovrebbe aiutare a capire se esistono o meno massimi e minimi e, soprattutto, se ci sono dei punti di sella.

[nic1988]

Grazie mille mi hai chiarito molti punti ma la cosa è un'altra la mia professoressa vuole i conti e non i ragionamenti e ci tiene tanto alla matrice Hessiana ma a me le derivate parziali miste vengono diverse e quindi non posso scrivere tale matrice

$f_x=2(x-1)log(x+y+1)$
$f_(xy)=2(x-1)/(x+y+1)$
$f_y=(x-1)^2/(x+y+1)$
$f_(yx)=(2(x-1)(x+y+1)-(x-1)^2)/(x+y+1)^2$

Dove sbaglio?

[ciampax]

Guarda che per derivare $f_y$ rispetto a $x$ devi derivare solo il denominatore!
Ora, capisco che la tua prof voglia i "conti" come dici tu (ma ci credo poco, fidati, conosco i mie colleghi docenti universitari, e loro pretendono che uno sappia fare matematica!) ma qui anche con questi conti (ammesso di farli correttamente) non ottieni molto, in generale, a meno di non fare qualche considerazione geometrica.