Dominio studio di funzione
Ciao a tutti, essendo ai primi passi con le funzioni integrali non mi è chiaro come calcolare il dominio di quest'ultima
$F(X) = int_(0)^(x) (t-1/3)/((t+4)*(t^2+1))dt$
Calcolo il dominio della funzione integranda che è $ Dom[f(t)] = R \\ {-4} $
Ed ora correggetemi se sbaglio devo calcolare l'integrale improprio in $x=-4$ ,ma non mi è proprio chiaro perchè.
Ma poi devo prendere un intorno destro o sinistro di $-4$ per calcolare l'integrale?
E il fatto che con $-4$ l'integrale improprio converga cosa implica riguardo il dominio di F(X)?
$F(X) = int_(0)^(x) (t-1/3)/((t+4)*(t^2+1))dt$
Calcolo il dominio della funzione integranda che è $ Dom[f(t)] = R \\ {-4} $
Ed ora correggetemi se sbaglio devo calcolare l'integrale improprio in $x=-4$ ,ma non mi è proprio chiaro perchè.
Ma poi devo prendere un intorno destro o sinistro di $-4$ per calcolare l'integrale?
E il fatto che con $-4$ l'integrale improprio converga cosa implica riguardo il dominio di F(X)?
Risposte
Perché devi controllare se $F(-4)$ è definito. Se l'integrale non fosse convergente, allora la funzione non sarebbe definita in quel punto.
"Antimius":
Perché devi controllare se $F(-4)$ è definito. Se l'integrale non fosse convergente, allora la funzione non sarebbe definita in quel punto.
Quindi se in $-4$ la funzione integrale è convergente il dominio di F è $[-4,+oo)$?
Altrimenti $(-4,+oo)$?
Per controllare la convergenza posso considerare $ int_(0)^(-4) f(t) dt = int_(-4)^(0) -f(t) dt $ ?
La funzione $f$ è integrabile negli intervalli che non contengono $-4$ e perciò la sua funzione integrale è definita in ogni intervallo che contenga $0$, tranne al più quelli che contengono $-4$. Quindi bisogna controllare solo se la funzione è definita in $-4$.
Sì, puoi studiare il secondo integrale se preferisci, ma è irrilevante perché cambierebbe solo un segno.
Io ti consiglio di tenere conto del fatto che \(\displaystyle f(t) \sim \frac{1}{(t+4)} \) per $t \to -4$ e applicare il criterio del confronto asintotico per integrali impropri.
"Achaikos":
Per controllare la convergenza posso considerare $ int_(0)^(-4) f(t) dt = int_(-4)^(0) -f(t) dt $ ?
Sì, puoi studiare il secondo integrale se preferisci, ma è irrilevante perché cambierebbe solo un segno.
Io ti consiglio di tenere conto del fatto che \(\displaystyle f(t) \sim \frac{1}{(t+4)} \) per $t \to -4$ e applicare il criterio del confronto asintotico per integrali impropri.
"Antimius":
E $(-\infty, -4)$ dove lo lasciamo?Il punto è che la funzione $f$ è integrabile negli intervalli che non contengono $-4$ e perciò la sua funzione integrale è definita per ogni $x$ tranne al più $-4$. Quindi bisogna controllare solo se la funzione è definita in $-4$.
[quote="Achaikos"]
Per controllare la convergenza posso considerare $ int_(0)^(-4) f(t) dt = int_(-4)^(0) -f(t) dt $ ?
Sì, puoi studiare il secondo integrale se preferisci, ma è irrilevante perché cambierebbe solo un segno.
Io ti consiglio di tenere conto del fatto che \(\displaystyle f(t) \sim \frac{1}{(t+4)} \) per $t \to -4$ e applicare il criterio del confronto asintotico per integrali impropri.[/quote]
Grazie allora ho fatto in questo modo,
per $t -> -4$ l'integrale dell'equivalenza asintotica diverge quindi $-4$ NON è punto del dominio di F,quindi devo considerare il più grande intervallo del dominio in cui è presente il punto $0$ e di conseguenza il dominio e $(-4,+oo)$.
E' corretto?
Sì, hai ragione, non avevo considerato lo $0$ all'estremo dell'integrale, perciò $(- \infty, -4)$ non va considerato. Il dominio è quello che dici tu. Correggo su.
Il dominio è quello che dici tu. Correggo su.
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