Dominio soluzione massimale
Problema di Cauchy:
$ { ( y’=x^3root()(64-y^2) ),( y(0)=3 ):} $
La soluzione trovata è:
$ v(x)=8sin (x^4/4+arcsen3/8) $
Il dominio della soluzione massimale é
1)-1 e 1?
2)R?
Io nel compito avevo messo la 1) però ripensandoci è il codominio, non il dominio. Come mai me l’ha considerato corretto lo stesso?
$ { ( y’=x^3root()(64-y^2) ),( y(0)=3 ):} $
La soluzione trovata è:
$ v(x)=8sin (x^4/4+arcsen3/8) $
Il dominio della soluzione massimale é
1)-1 e 1?
2)R?
Io nel compito avevo messo la 1) però ripensandoci è il codominio, non il dominio. Come mai me l’ha considerato corretto lo stesso?
Risposte
ma la 1) penso sia corretta!! in quanto affinchè il dominio massimale sia $ RR $ la soluzione deve essere unica....ma f(x,y) non mi sembra per nulla lipschitziana rispetto alla variabile y, prova a calcolarti la derivata direzionale in $v(0,1)$ in altri termini applica la definizione di rapporto incrementale rispetto a y nel punto $(x_0,y_0) $ e vedi se esiste il limite, ma non credo..(in questo caso non puoi applicare il criterio sufficiente in quanto fy non risulta continua nell'insieme di definizione dato da f(x,y))...quindi per me la 1 è la risposta corretta.
@MasterCud: occhio... il teorema di Cauchy-Lipschitz esprime una condizione solo sufficiente per l'esistenza e l'unicità della soluzione, non certo necessaria. Non c'è bisogno di scomodare esistenza e unicità locali, la soluzione ce l'abbiamo davanti; è un'equazione a variabili separabili e le funzioni si integrano abbastanza facilmente 
...
@eleonoraponti : ammesso che i conti siano corretti (non li ho verificati), la risposta giusta è chiaramente la (2). Comunque attenzione, il "codominio" (credo che volessi dire immagine) non è $[-1,1]$ (c'è un 8 davanti a tutto che "amplifica").
...@eleonoraponti : ammesso che i conti siano corretti (non li ho verificati), la risposta giusta è chiaramente la (2). Comunque attenzione, il "codominio" (credo che volessi dire immagine) non è $[-1,1]$ (c'è un 8 davanti a tutto che "amplifica").
"Paolo90":infatti ho scritto che dal momento che non potevamo utilizzare il criterio sufficiente per dimostrare l'unicità della soluzine ho suggerito un' altra strategia
@MasterCud: occhio... il teorema di Cauchy-Lipschitz esprime una condizione solo sufficiente per l'esistenza e l'unicità della soluzione, non certo necessaria
...e ho consigliato il calcolo del rapporto incrementale rispetto a y..... io credimi avrei risposto $RR$ solo e soltanto se la soluzione fosse stata unica, ma in questo casono non mi sembra che lo sia..o sbaglio?? quali altri metodi conosci per dimostrare l'unicità oltre all'applicazione pura della definizione di lipschitzianità?? grazie in anticipo
Gentilmente, mi faresti vedere come dimostri che "la" soluzione non sarebbe unica in questo caso?
Inoltre,
Rapporto incrementale di chi? In che punto? A che fine calcolarlo?
Inoltre,
"MasterCud":
...e ho consigliato il calcolo del rapporto incrementale rispetto a y...
Rapporto incrementale di chi? In che punto? A che fine calcolarlo?
premetto che non è una cosa che mi sono inventato io ..la mia prof di analisi per dimostrare la lipschizianità applicava la definizione di derivata parziale rispetto a y in $(x_0,y_0)$, quindi se il limite del rapporto incrementale esisteva finito allora lo soluzione era unica, se il limite non esisteva allora f non era lipshitziana..quindi il calcolo era molto semplicemente questo:
$ lim_(k->0) (f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0))/k $
..la mia prof di analisi per dimostrare la lipschizianità applicava la definizione di derivata parziale rispetto a y in $(x_0,y_0)$, quindi se il limite del rapporto incrementale esisteva finito allora lo soluzione era unica, se il limite non esisteva allora f non era lipshitziana..quindi il calcolo era molto semplicemente questo:$ lim_(k->0) (f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0))/k $
Ho capito, ma torno a ripetere che vale l'implicazione "lipschitziana (localmente, rispetto alla seconda variabile uniformemente nella prima)" $=>$ unicità; tuttavia, l'implicazione inversa non è vera.
ottimo!! grazie per il chiarimento 
Quando vado a calcolarmi il dominio devo vedere dov’è definito il seno (non mi importa se davanti c’è l’8) solo che la mia domanda era: come mai mi ha considerato corretto il fatto che l’ho posto tra -1 e 1? So che il dominio del seno è R... sono arrivata alla conclusione che me l’ha considerato corretto perché la soluzione che io ho trovato è y=.... quindi sto studiando dove è definita la y non la x... quindi va bene tra -1 e 1. Giusto?
Ribadisco quanto ho detto sopra. Per me la risposta corretta è la numero 2, cioè tutto $RR$, ammesso che i conti siano giusti. Non so perché te l'abbia data giusta.
C'è da dire però che non hai precisato la modalità di risposta dell'esercizio. Era un esercizio a cui hai risposto su un foglio motivando i passaggi? Oppure - più probabilmente - è una domanda a risposta secca, a crocette? Se è così, può darsi che la risposta giusta sia la 1 perché magari hai sbagliato i conti e la soluzione non è quella che hai scritto, ma un'altra funzione definita solo tra $(-1,1)$.
Infine, so che la presenza di quel fattore 8 lì davanti non influenza il dominio del seno, ma ne influenza l'immagine: non è $[-1,1]$ come erroneamente affermavi tu, ma diventa tutto dilatato di 8, dunque è $[-8,8]$.
In conclusione: o posti i tuoi conti mostrandoci come hai trovato quell'espressione della soluzione - verifica che lo sia, mi raccomando - oppure contatta il docente.
C'è da dire però che non hai precisato la modalità di risposta dell'esercizio. Era un esercizio a cui hai risposto su un foglio motivando i passaggi? Oppure - più probabilmente - è una domanda a risposta secca, a crocette? Se è così, può darsi che la risposta giusta sia la 1 perché magari hai sbagliato i conti e la soluzione non è quella che hai scritto, ma un'altra funzione definita solo tra $(-1,1)$.
Infine, so che la presenza di quel fattore 8 lì davanti non influenza il dominio del seno, ma ne influenza l'immagine: non è $[-1,1]$ come erroneamente affermavi tu, ma diventa tutto dilatato di 8, dunque è $[-8,8]$.
In conclusione: o posti i tuoi conti mostrandoci come hai trovato quell'espressione della soluzione - verifica che lo sia, mi raccomando - oppure contatta il docente.
L'esercizio era di risolvere il problema di cauchy e trovare il dominio della soluzione massimale. (Non riesco a postare i vari passaggi perché sono con il telefono in questo momento però la soluzione sono sicura al 100% che è corretta.)
Capisco; allora non so davvero che cosa dire, mi dispiace.
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