Dominio semplicemente connesso? Campo conservativo nello spazio
Salve a tutti, qualcuno mi aiuta a capire "intuitivamente" ( non mi occorrono definizioni eccessivamente rigorose) per quale ragione $ RR^2\\ (0,0) $ non è semplicemente connesso mentre $ RR^3\\ (0,0) $ lo è? Devo poter capire queste differenze nella risoluzine di essercizi sui campi conservativi. Ho letto che, ad esempio, lo spazio eccetto una retta non è semplicemente connesso, lo spazio senza un punto invece si , al contrario il piano senza un punto no, E se avessi un dominio senza due o più punti? quali considerazioni potrei trarre? Nella fattispecie questo dubbio mi è venuto dovendo risolvere questo esercizio :
Si determini in quali regione il campo vettoriale $ F(x,y,z)=(2 x/z,2y/z, -(x^2+y^2)/z) $ è conservativo. Verificare quado sia irrotazionale è un attimo, basta trovare il rotore e imporre che tutte le componenti siano nulle. Come procedere però per quanto riguarda l'essere conservativo? il dominio dovrebbe essere tutto lo spazio meno il piano xy. Non ho idea se il dominio sia semplicemente connesso. Avevo anche pensato di imporre che l'integrale fosse nullo lungo una generica curva ma al momento sono molto confuso. Vi prego aiutatemi, ultimamente passano settimane senza che riceva una risposta
Si determini in quali regione il campo vettoriale $ F(x,y,z)=(2 x/z,2y/z, -(x^2+y^2)/z) $ è conservativo. Verificare quado sia irrotazionale è un attimo, basta trovare il rotore e imporre che tutte le componenti siano nulle. Come procedere però per quanto riguarda l'essere conservativo? il dominio dovrebbe essere tutto lo spazio meno il piano xy. Non ho idea se il dominio sia semplicemente connesso. Avevo anche pensato di imporre che l'integrale fosse nullo lungo una generica curva ma al momento sono molto confuso. Vi prego aiutatemi, ultimamente passano settimane senza che riceva una risposta
Risposte
il concetto di ordine di connessione è un concetto proprio della topologia algebrica e si usa per calcolare quelli che vengono chiamati gruppi di omotopia, in particolare, uno spazio topologico è semplicemente connesso quando tutti i lacci su tale spazio (curve continue e chiuse) possono essere deformate con continuità ad un punto. nel caso del piano privato di un punto,tutti i lacci che non contengono quel punto sono deformabili l'uno nell'altro, mentre invece, quelli che contengono il punto sono deformabili l'uno nell'altro solo se hanno lo stesso indice di avvolgimento (intuitivamente, quanti giri compie un punto che percorre la curva, intorno al punto, prima di giungere alla sua posizione iniziale).
Nel tuo es. il tuo dominio non solo non è semplicemente connesso ma non è nemmeno connesso, può infatti essere ottenuto come unione di due aperti di $ RR^3 $, tuttavia, ognuno di questi due aperti è semplicemente connesso, quindi la tua funzione non ammette un potenziale su tutto $ RR^3 $ ma lo ammette su $ RR^2xxRR^+ $ e $ RR^2xxRR^- $.
Nel tuo es. il tuo dominio non solo non è semplicemente connesso ma non è nemmeno connesso, può infatti essere ottenuto come unione di due aperti di $ RR^3 $, tuttavia, ognuno di questi due aperti è semplicemente connesso, quindi la tua funzione non ammette un potenziale su tutto $ RR^3 $ ma lo ammette su $ RR^2xxRR^+ $ e $ RR^2xxRR^- $.
Grazie mille, sei stato esaustivo.
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