Dominio semplicemente connesso.
Buonasera. Ho questo campo:
$F(x,y)=((2x(x^2+y^2))/(x^2+y^2-1)^2,(2y(x^2+y^2))/(x^2+y^2-1)^2)$
Il suo dominio è tutto $RR$ esclusa la circonferenza passante per l'origine di raggio 1.
Mi chiede se $F(x,y)$ è conservativo sul suo dominio.
Ho dimostrato che il rotore di F è nullo e quindi il campo è irrotazionale. Adesso mi servirebbe dimostrare che il dominio è semplicemente connesso e di conseguenza avrei confermato che il campo è anche conservativo.
Però questo dominio non risulta semplicemente connesso dal momento che la circonferenza non ci appartiene.
Come posso dire che F è conservativo?
$F(x,y)=((2x(x^2+y^2))/(x^2+y^2-1)^2,(2y(x^2+y^2))/(x^2+y^2-1)^2)$
Il suo dominio è tutto $RR$ esclusa la circonferenza passante per l'origine di raggio 1.
Mi chiede se $F(x,y)$ è conservativo sul suo dominio.
Ho dimostrato che il rotore di F è nullo e quindi il campo è irrotazionale. Adesso mi servirebbe dimostrare che il dominio è semplicemente connesso e di conseguenza avrei confermato che il campo è anche conservativo.
Però questo dominio non risulta semplicemente connesso dal momento che la circonferenza non ci appartiene.
Come posso dire che F è conservativo?
Risposte
Cerca di dimostrare che il campo soddisfa la definizione.
Cioè che esiste un potenziale scalare? La mia professoressa prende una circonferenza più grande della circonferenza non compresa nel dominio e notando che lungo quella curva l'integrale è nullo, conferma che il campo è conservativo. Però da quello che leggo nella teoria mi pare di capire che questo è vero solo se per ogni curva l'integrale è nullo, mentre lei tiene conto solo di una.
Ciao vivi96,
Per esistere esiste...
Naturalmente si può determinare "ufficialmente" a partire ad esempio da $(delU)/(delx) = (2x(x^2+y^2))/(x^2+y^2-1)^2 $, ma già così "a naso" la presenza di quel quadrato lì a denominatore (ricordati la derivata di un quoziente...) dovrebbe indurti al sospetto e portarti ad affermare che un potenziale scalare $U = U(x, y) $ deve contenere una frazione del tipo $1/(x^2 + y^2 - 1) $; poi quale altra funzione una volta derivata ti consentirebbe di avere al denominatore $x^2 + y^2 - 1 $ ?
"vivi96":
Cioè che esiste un potenziale scalare?
Per esistere esiste...
Naturalmente si può determinare "ufficialmente" a partire ad esempio da $(delU)/(delx) = (2x(x^2+y^2))/(x^2+y^2-1)^2 $, ma già così "a naso" la presenza di quel quadrato lì a denominatore (ricordati la derivata di un quoziente...) dovrebbe indurti al sospetto e portarti ad affermare che un potenziale scalare $U = U(x, y) $ deve contenere una frazione del tipo $1/(x^2 + y^2 - 1) $; poi quale altra funzione una volta derivata ti consentirebbe di avere al denominatore $x^2 + y^2 - 1 $ ?
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