Dominio semplice
il dominio D=${(x,y)inR^2 : x^2+y^2<=1, x+y>1/2}$ è semplice?
Risposte
Secondo te?
Ciao a entrambi e scusate l'ignoranza, ma dominio semplice è sinonimo di semplicemente connesso o significa un'altra cosa?
Io per dominio semplice ho sempre indicato un dominio per il quale era possibile delimitare la regione con intervalli o grafici di funzione. Spesso molto lo chiamano anche dominio normale (rispetto ad un'asse in particolare o rispetto ad entrambi)
Grazie della risposta lorin, dopo che gbspeedy si è espresso vorrei provare a dire anche la mia; ti ringrazio se vorrai controllare.
Dai che mi fai arrossire 
è la parte di piano compresa tra la circonferenza di raggio unitario e la retta $y=1/2-x$
quindi è semplice ma è normale rispetto agli assi?
quindi è semplice ma è normale rispetto agli assi?
@gio73: Effettivamente, questa denominazione "dominio semplice" non l'ho mai sentita nemmeno io, se non qui sul forum da un numero sparuto di utenti; quindi suppongo non sia un nome diffuso e comune, ma usato solamente da qualche docente (e da qualche testo di Analisi).
Quello che Lorin definisce come "dominio semplice" è quello che io ho sempre chiamato "dominio normale nel piano", i.e. un dominio* \(\Omega \subset \mathbb{R}^2\) che può essere rappresentato nella forma:
\[
\Omega =\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x\in X,\ y\in ]\alpha (x),\beta (x)[\}
\]
con \(X\subseteq \mathbb{R}\) è aperto ed \(\alpha ,\beta :X\to \mathbb{R}\) tali che \(\alpha (x)\leq \beta (x)\) (in questo caso si dice "normale rispetto all'asse \((x)\)"), oppure nella forma:
\[
\Omega =\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ y\in Y,\ x\in ]\gamma (y),\delta (y)[\}
\]
con \(Y\subseteq \mathbb{R}\) è aperto ed \(\gamma ,\delta :Y\to \mathbb{R}\) tali che \(\gamma (y)\leq \delta (y)\) (in questo caso si dice "normale rispetto all'asse \((y)\)").
Geometricamente, questi domini sono caratterizzati dalla seguente proprietà geometrica:
__________
* Ricordo che un dominio di \(\mathbb{R}^2\) è un insieme aperto e connesso.
Quello che Lorin definisce come "dominio semplice" è quello che io ho sempre chiamato "dominio normale nel piano", i.e. un dominio* \(\Omega \subset \mathbb{R}^2\) che può essere rappresentato nella forma:
\[
\Omega =\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x\in X,\ y\in ]\alpha (x),\beta (x)[\}
\]
con \(X\subseteq \mathbb{R}\) è aperto ed \(\alpha ,\beta :X\to \mathbb{R}\) tali che \(\alpha (x)\leq \beta (x)\) (in questo caso si dice "normale rispetto all'asse \((x)\)"), oppure nella forma:
\[
\Omega =\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ y\in Y,\ x\in ]\gamma (y),\delta (y)[\}
\]
con \(Y\subseteq \mathbb{R}\) è aperto ed \(\gamma ,\delta :Y\to \mathbb{R}\) tali che \(\gamma (y)\leq \delta (y)\) (in questo caso si dice "normale rispetto all'asse \((y)\)").
Geometricamente, questi domini sono caratterizzati dalla seguente proprietà geometrica:
Il dominio \(\Omega\) è normale rispetto all'asse \((x)\) [risp. \((y)\)] se e solo se ogni retta normale all'asse \((x)\) [risp. \((y)\)] o interseca \(\Omega\) in un segmento aperto oppure non interseca \(\Omega\).
__________
* Ricordo che un dominio di \(\mathbb{R}^2\) è un insieme aperto e connesso.
Grazie della risposta Gugo.
@gbspeedy
Ho fatto il tuo stesso disegno, in effetti mi viene un segmento circolare a una base con la corda non compresa nella regione, mentre l'arco sì (una parte del bordo è contenuta nella regione). Confermi?
@gbspeedy
"gbspeedy":
il dominio D=${(x,y)inR^2 : x^2+y^2<=1, x+y>1/2}$ è semplice?
Ho fatto il tuo stesso disegno, in effetti mi viene un segmento circolare a una base con la corda non compresa nella regione, mentre l'arco sì (una parte del bordo è contenuta nella regione). Confermi?
si
Forse prendo un grosso abbaglio, am a me questa regione sembra sì connessa, ma nè aperta, nè chiusa, sbaglio?
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