Dominio per un integrale

[Seven90]

Allora ragazzi ho il seguente esercizio: calcolare il seguente integrale doppio:
$\int xy dx dy$
sul dominio D, dove D è il sottoinsieme del primo quadrante del piano delimitato dall'asse y dalla circonferenza di raggio 1 e centro (0,1) e dalla parabola di equazione $y=1-sqrt(2)x^2$.
E' esatto se scrivo quindi che:
$D={x>=0, x^2+y^2-2y<=1, y+sqrt(2)x^2<=1}$????
Detto questo per risolvere l'integrale procedo a trasformare tutto in coordinate polari ponendo:
$x=\rho cos\theta$
$y=\rho sin\theta$
E qui la cosa si complica :S

[Seven90]

oppure guardando il grafico mi vien da pensare che x varia tra 0 e il valore che assume nel punto d'intersezione tra circonferenza e parabole, mentre y varia tra la circonferenza e la parabola.

[Noisemaker]

be no il dominio lo devresti scrivere cosi:
\begin{align}
D:=\{(x;y)\in\mathbb{R}^2:x^2+(y-1)^2\le1,y\le1-x^2\sqrt2,x\ge0\}.
\end{align}

[Seven90]

Si, diciamo poi che il punto d'intersezione tra la circonferenza e la parabola vale $x=1/sqrt(2) $ quindi diciamo che il range di x è tra 0 e quel valore, mentre per la y come faccio a dire che deve variare tra la circonferenza e la parabola?
Devo dire che varia tra $sqrt(1-x^2)+1$ e $1-sqrt(2)x^2$ ???

[Noisemaker]

Osservando il dominio $D$ se ne deduce che è $y$-semplice,quindi l'itegrale diviene:
\begin{align}
\iint_{D}xy\,\,dxdy=\int_{x=0}^{\sqrt2/2} \left(\int_{y=1-\sqrt{1-x^2}}^{1-x^2\sqrt2} xy\,\,dy\right)dx
\end{align}

[Seven90]

Si come dicevo, anche se non capisco perché a te il punto d'intersezione risulta $sqrt(2)/2$ e come mai l'estremo inferiore delle y ti trovi il segno meno anzicchè +

[Seven90]

io risolvendo il sistema
$x^2 + (y-1)^2 -1=0$
$y=1-sqrt(2)x^2$
trovo:
$2x^4+x^2-1$
sostituisco $z=x^2$
e risolvo l'eq. di secondo grado in z ritrovando $z=1/2,z=-1$ naturalmente il valore che ci serve e 1/2 tornando a x vale $1/sqrt(2)$ e non $2/sqrt(2)$