Dominio massimale
Si determini il dominio massimale della soluzione dell'equazione di erenziale
con condizione iniziale
\(y'=-2y^{3/2}\)
\(y(0) = 2\)
vorrei sapere cosa intende per "dominio massimale". potete farmi un esempio risolvendo questo esercizio?
grazie
con condizione iniziale
\(y'=-2y^{3/2}\)
\(y(0) = 2\)
vorrei sapere cosa intende per "dominio massimale". potete farmi un esempio risolvendo questo esercizio?
grazie
Risposte
Risolvendola:
$(y')/y^{3/2} =-2$
$int_{0}^{x} (y')/y^{3/2} dt =int_{0}^{x} -2dt$
sostituzione $y(t)=z$
$int_{y(0)}^{y(x)} (dz)/(z^{3/2}) = -2x$
$-2/(sqrt y) +2/(sqrt2) =-2x$
$y=2/(1+sqrt(2) x)^2$
Chiaramente il grafico è a due pezzi, essendoci un asintoto verticale in $x=-1/(sqrt2)$. Il dominio massimale è il più grande dominio in cui una soluzione locale può essere estesa con continuità, quindi deve essere il pezzo che contiene il punto di partenza del problema ($x=0$), ovvero $ ( -1/(sqrt2), +infty)$.
Nota: La struttura del dominio massimale si può dedurre anche senza risolvere l'equazione. Non so se si può invece determinare esattamente il dominio massimale senza risolverla.
$(y')/y^{3/2} =-2$
$int_{0}^{x} (y')/y^{3/2} dt =int_{0}^{x} -2dt$
sostituzione $y(t)=z$
$int_{y(0)}^{y(x)} (dz)/(z^{3/2}) = -2x$
$-2/(sqrt y) +2/(sqrt2) =-2x$
$y=2/(1+sqrt(2) x)^2$
Chiaramente il grafico è a due pezzi, essendoci un asintoto verticale in $x=-1/(sqrt2)$. Il dominio massimale è il più grande dominio in cui una soluzione locale può essere estesa con continuità, quindi deve essere il pezzo che contiene il punto di partenza del problema ($x=0$), ovvero $ ( -1/(sqrt2), +infty)$.
Nota: La struttura del dominio massimale si può dedurre anche senza risolvere l'equazione. Non so se si può invece determinare esattamente il dominio massimale senza risolverla.
quindi per determinare il dominio massimale basta che risolvo il differenziale (con relativo punto di partenza) e poi trovo i punti di discontinuità? il dominio massimale quindi varrà: (punto di discontinuità, limite della y in questo punto)?
"La struttura del dominio massimale si può dedurre anche senza risolvere l'equazione" ti riferisci al caso in cui la funzione sia lipschitz globalmente?
"La struttura del dominio massimale si può dedurre anche senza risolvere l'equazione" ti riferisci al caso in cui la funzione sia lipschitz globalmente?
"marioo91":
quindi per determinare il dominio massimale basta che risolvo il differenziale (con relativo punto di partenza) e poi trovo i punti di discontinuità? il dominio massimale quindi varrà: (punto di discontinuità, limite della y in questo punto)?
No. Il dominio massimale è un'intervallo dell'asse $x$. In questo caso è venuto così.
Se avessi ottenuto la stessa soluzione ma a partire dalla condizione iniziale $y(-2)=...$, il dominio massimale sarebbe stato $(-infty, -1/(sqrt2))$.
Se invece, per esempio, ottieni come soluzione $y=1/(x^2-1)$, a seconda della condizione iniziale, il dominio massimale sarà $(-infty,-1)$, oppure $(-1,1)$, oppure $(1,+infty)$.
"marioo91":
"La struttura del dominio massimale si può dedurre anche senza risolvere l'equazione" ti riferisci al caso in cui la funzione sia lipschitz globalmente?
Beh, in questo caso se non sbaglio puoi subito dire che il dominio massimale è $RR$.
Ci sono comunque altre possibilità, per esempio qua si poteva dedurre che l'intervallo massimale era del tipo $(a,+infty)$, perché applicando noti teoremi, si può dedurre che la soluzione deve essere:
decrescente, positiva, "diventa subito ripida" (in questo momento non riesco a giustificarlo bene).
ho rifatto i calcoli. la soluzione del differenziale a me viene
$ y= 4/(-2x+sqrt(2))^2 $
quindi l'asintoto verticale dovrebbe essere per $ x=1/sqrt(2)$
e quindi da quanto mi hai detto il dominio massimale sarebbe $(-oo,1/sqrt(2)) $ ?
scusami se non capisco ma purtroppo queste cose non ce le hanno spiegate ma ce le mettono all'esame.
più che altro non ho capito il fatto della scelta, nel tuo esempio, di uno dei 3 domini massimali. non riesco a capire la correlazione che c'è con il punto iniziale.
$ y= 4/(-2x+sqrt(2))^2 $
quindi l'asintoto verticale dovrebbe essere per $ x=1/sqrt(2)$
e quindi da quanto mi hai detto il dominio massimale sarebbe $(-oo,1/sqrt(2)) $ ?
scusami se non capisco ma purtroppo queste cose non ce le hanno spiegate ma ce le mettono all'esame.
più che altro non ho capito il fatto della scelta, nel tuo esempio, di uno dei 3 domini massimali. non riesco a capire la correlazione che c'è con il punto iniziale.
"marioo91":
più che altro non ho capito il fatto della scelta, nel tuo esempio, di uno dei 3 domini massimali. non riesco a capire la correlazione che c'è con il punto iniziale.
Al di là dei conti, la soluzione di una equazione differenziale (non "di un differenziale": che schifezza è?) è definita su un intervallo.
Se poi hai anche una condizione iniziale, è ovvio che l'intervallo di definizione per una soluzione del problema di Cauchy deve contenere l'ascissa del dato iniziale. Sennòcome fa ad essere soluzione del problema di Cauchy?
ok ma perchè il mio intervallo deve essere $ (1/sqrt(2), +oo) $ e invece non $(-oo, 1/sqrt(2)) $
scusate sono un pò fuso
scusate sono un pò fuso
Sì. sei un po' fuso 
Quale è l'ascissa della condizione iniziale? E' 0, giusto?
E quale dei due intervalli da te indicati contiene lo 0? Certo, quello che dici tu, poffarbacco! Ovvero, quello che va da meno infinito a uno fratto radice quadrata di due.
Quale è l'ascissa della condizione iniziale? E' 0, giusto?
E quale dei due intervalli da te indicati contiene lo 0? Certo, quello che dici tu, poffarbacco! Ovvero, quello che va da meno infinito a uno fratto radice quadrata di due.
grazie milleper la disponibilità. ora ho capito.
mi scuso per l'ignoranza ma se ci spiegassero le cose sarebbe forse più facile.
grazie ancora.
mi scuso per l'ignoranza ma se ci spiegassero le cose sarebbe forse più facile.
grazie ancora.
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