Dominio Integrali Multipli
Ciao ragazzi,
sto facendo una barcata di esercizi di integrali doppi e ho dei dubbi sui seguenti domini, riuscite ad illuminarmi?
- dominio D = { (x,y) : $ x^2+y^2<=1 , y>=0, x>=1/2 $ }
- integrale sul triangolo dato dai punti ( 0,0) , ( $ pi $ ,0),($ pi $,$ pi $)
- dominio D = { (x,y) : $ 4x^2+9y^2<=1 }
Non riesco a capire come impostare questi domini per il calcolo dell'integrale!
Grazie mille a tutti!
sto facendo una barcata di esercizi di integrali doppi e ho dei dubbi sui seguenti domini, riuscite ad illuminarmi?
- dominio D = { (x,y) : $ x^2+y^2<=1 , y>=0, x>=1/2 $ }
- integrale sul triangolo dato dai punti ( 0,0) , ( $ pi $ ,0),($ pi $,$ pi $)
- dominio D = { (x,y) : $ 4x^2+9y^2<=1 }
Non riesco a capire come impostare questi domini per il calcolo dell'integrale!
Grazie mille a tutti!
Risposte
Spesso un disegno fornisce ottimi spunti. E in questi tre casi ci sono delle cose di tipo "standard" (le curve sono rette, circonferenze, ellissi).
Lo so, ma anche facenso il disegno non riesco a capire questi 3 casi :/
Iniziamo dal primo. Le tre condizioni, nell'ordine, rappresentano l'interno della circonferenza di centro l'origine e raggio 1, comprensiva del bordo, il semipiano positivo e la porzione a destra della retta (verticale) di equazione $x=1/2$. Prese tutte e tre insieme, queste condizioni forniscono, come dominio, la porzione del primo quarto di cerchio (quello del primo quadrante) che si trova a destra di $x=1/2$. Pertanto le condizioni si possono esplicitare scrivendo
$$1/2\le x\le 1,\qquad 0\le y\le\sqrt{1-x^2}$$
Ti è chiaro?
$$1/2\le x\le 1,\qquad 0\le y\le\sqrt{1-x^2}$$
Ti è chiaro?
Ok fino a qui ero arrivato! Il problema era come trasformarlo in coordinate polari!
Siccome anche l'integrale penso sia più semplice risolto in c.p ( I = $ y/ (x^2+y^2) $ ) ; non riesco a come gestire r e l'angolo in c.p in quanto non è una parte semplice della circonferenza questo dominio!
Oppure mi dici di risolverlo direttamente senza cambiamenti?
Siccome anche l'integrale penso sia più semplice risolto in c.p ( I = $ y/ (x^2+y^2) $ ) ; non riesco a come gestire r e l'angolo in c.p in quanto non è una parte semplice della circonferenza questo dominio!
Oppure mi dici di risolverlo direttamente senza cambiamenti?
Io lo farei in coordinate cartesiane, anche perché in coordinate polari si complica la forma che serve a limitare $\rho$.
Perfetto questo l'ho capito! Riesci ad illuminarmi anche con gli altri due domini? Il terzo ho trovato un esercizio simile, e dovrebbe essere una ellisse giusto? Ma il secondo dominio proprio non riesco a capirlo 
Per il secondo devi farti guidare dal disegno. Il triangolo dato risulta rettangolo isoscele nel vertice $(\pi,0)$, ha un cateto sull'asse $x$, uno verticale e l'ipotenusa sulla retta $y=x$. Pertanto le limitazioni possono essere, a seconda di quale asse scegli per normalizzarlo, le seguenti
$$0\le x\le \pi,\qquad 0\le y\le x$$
$$0\le y\le\pi,\qquad y\le x\le\pi$$
Scegli una delle due e integra.
L'ultima è una ellisse.
$$0\le x\le \pi,\qquad 0\le y\le x$$
$$0\le y\le\pi,\qquad y\le x\le\pi$$
Scegli una delle due e integra.
L'ultima è una ellisse.
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