Dominio integrale triplo in coordinate cartesiane
Salve a tutti,
sto guardando un esercizio svolto su un integrale triplo: si vuole calcolare l'integrale sulla regione solida E interna alla sfera di equazione $x^2+y^2+z^2=1$ e sopra il paraboloide $z=x^2+y^2-1$. Poi dice che queste due superfici si intersecano nel cilindro di equazione $x^2+y^2+(x^2+y^2-1)^2=1$ (e qui ok) e che quindi, il dominio è: $x^2+y^2<=1$ , $x^2+y^2-1<=z<=sqrt(1-x^2-y^2)$. Però non ho capito come ha fatto a scriverlo, cioè, come scrivo il dominio in quella forma a partire dalle equazioni delle superfici?
Grazie in anticipo e buon anno a tutti!
Valentina
sto guardando un esercizio svolto su un integrale triplo: si vuole calcolare l'integrale sulla regione solida E interna alla sfera di equazione $x^2+y^2+z^2=1$ e sopra il paraboloide $z=x^2+y^2-1$. Poi dice che queste due superfici si intersecano nel cilindro di equazione $x^2+y^2+(x^2+y^2-1)^2=1$ (e qui ok) e che quindi, il dominio è: $x^2+y^2<=1$ , $x^2+y^2-1<=z<=sqrt(1-x^2-y^2)$. Però non ho capito come ha fatto a scriverlo, cioè, come scrivo il dominio in quella forma a partire dalle equazioni delle superfici?
Grazie in anticipo e buon anno a tutti!
Valentina
Risposte
Riscrivendo l'equazione della sfera nel modo seguente
\[ x^2 + y^2 + z^2 = 1 \quad \rightarrow \quad z = \pm \sqrt{1 - x^2 - y^2} \]
risulta necessario che \( x^2 + y^2 \le 1 \).
Scegliendo il segno positivo, imponi che la regione sia situata internamente alla sfera relativamente alla sua superficie superiore, dunque
\[ D = \lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \le 1 \rbrace \]
\[ E = \left \lbrace (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : (x, y ) \in D,\ x^2 + y^2 -1 \le z \le \sqrt{1 - x^2 - y^2} \right \rbrace \]
\[ x^2 + y^2 + z^2 = 1 \quad \rightarrow \quad z = \pm \sqrt{1 - x^2 - y^2} \]
risulta necessario che \( x^2 + y^2 \le 1 \).
Scegliendo il segno positivo, imponi che la regione sia situata internamente alla sfera relativamente alla sua superficie superiore, dunque
\[ D = \lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \le 1 \rbrace \]
\[ E = \left \lbrace (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : (x, y ) \in D,\ x^2 + y^2 -1 \le z \le \sqrt{1 - x^2 - y^2} \right \rbrace \]
Ok, ho capito. E se invece passo in coordinate cilindriche, e le due superfici sono dunque:
$r^2+z^2=1$ , $z=r^2-1$
ho trovato che $-1<=r<=1$ e $0<=\theta<=2\pi$ , e z?
$r^2+z^2=1$ , $z=r^2-1$
ho trovato che $-1<=r<=1$ e $0<=\theta<=2\pi$ , e z?
\[ r^2 - 1 \le z \le \sqrt{1 -r^2} \]
Ah, semplicemente così! Perfetto, ti ringrazio molto!
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