Dominio integrale triplo
Salve a tutti, avrei una domanda.
Ho questo integrale da calcolare:
$intintint_T |z| dxdydz$ con $T={(x,y,z): x^2+y^2<=z^2<=4, z^2+x^2+y^2>=1}$.
La mia domanda è: in questo caso, come faccio a scrivere il dominio per riuscire a trovare gli estremi di integrazione?
Io ho provato ad utilizzare le coordinate cilindriche e sferiche, ma niente. Più che altro mi confondono i due vincoli messi assieme. Qualcuno può gentilmente darmi un suggerimento per favore?
Grazie mille a tutti.
Ho questo integrale da calcolare:
$intintint_T |z| dxdydz$ con $T={(x,y,z): x^2+y^2<=z^2<=4, z^2+x^2+y^2>=1}$.
La mia domanda è: in questo caso, come faccio a scrivere il dominio per riuscire a trovare gli estremi di integrazione?
Io ho provato ad utilizzare le coordinate cilindriche e sferiche, ma niente. Più che altro mi confondono i due vincoli messi assieme. Qualcuno può gentilmente darmi un suggerimento per favore?
Grazie mille a tutti.
Risposte
$x^2+y^2=z^2$ è un cono (e giusto per non confonderti si intendono due coni separati dall'origine, uno rivolto verso l'alto e il secondo verso il basso).
$x^2+y^2+z^2=1$ è una sfera di raggio 1
Il mio consiglio è trovare un plotter 3D online e sperimentare tutte le varietà base, in modo da riconoscerle rapidamente e farsi un'idea del dominio.
Edit: tolti cilindro e foglio piegato per non incasinare il thread con esempi di varietà ininfluenti
$x^2+y^2+z^2=1$ è una sfera di raggio 1
Il mio consiglio è trovare un plotter 3D online e sperimentare tutte le varietà base, in modo da riconoscerle rapidamente e farsi un'idea del dominio.
Edit: tolti cilindro e foglio piegato per non incasinare il thread con esempi di varietà ininfluenti
Quindi abbiamo due coni (con pendenza 45°) tagliati dai 2 piani, paralleli al piano xy, $z=+-2$ a cui togliamo il volume di una sfera centrata nell'origine di raggio 1.
Il dominio è chiaramente simmetrico rispetto al piano xy, ovvero $z=0$ (che andrai a considerare separatamente, risolvendo anche il modulo).
Considerando la z positiva (e analogamente poi la z negativa), il dominio da integrare è il cono per $0<=z<=2$ a cui va sottratto il cono per $0<=z<=1/sqrt(2)$ + la sua pallina di gelato che è la cupoletta della sfera fra $1/sqrt(2)<=z<=1$
Riesci a visualizzarlo?
P.S. ops ho scordato il cilindro, ma adesso non ho tempo per correggere...sto seguendo una diretta
P.S.2 mi sto incasinando ascoltando la diretta e scrivendo...il cilindro l'avevo messo solo come ulteriore esempio di varietà...ma non c'entra col dominio in questione (e adesso lo tolgo) pertanto quello che ho scritto sopra è corretto.
Il dominio è chiaramente simmetrico rispetto al piano xy, ovvero $z=0$ (che andrai a considerare separatamente, risolvendo anche il modulo).
Considerando la z positiva (e analogamente poi la z negativa), il dominio da integrare è il cono per $0<=z<=2$ a cui va sottratto il cono per $0<=z<=1/sqrt(2)$ + la sua pallina di gelato che è la cupoletta della sfera fra $1/sqrt(2)<=z<=1$
Riesci a visualizzarlo?
P.S. ops ho scordato il cilindro, ma adesso non ho tempo per correggere...sto seguendo una diretta
P.S.2 mi sto incasinando ascoltando la diretta e scrivendo...il cilindro l'avevo messo solo come ulteriore esempio di varietà...ma non c'entra col dominio in questione (e adesso lo tolgo) pertanto quello che ho scritto sopra è corretto.
Ecco c'è la pausa della diretta....
Quindi in soldoni integri l'integranda $z$ sul cono per $1/sqrt(2)<=z<=2$ (primo integrale triplo) e poi sottrai la medesima integranda per la cupoletta della sfera per $1/sqrt(2)<=z<=1$ (secondo integrale triplo)
Poi altri due integrali analoghi e ovvi con vari segni cambiati
Quindi in soldoni integri l'integranda $z$ sul cono per $1/sqrt(2)<=z<=2$ (primo integrale triplo) e poi sottrai la medesima integranda per la cupoletta della sfera per $1/sqrt(2)<=z<=1$ (secondo integrale triplo)
Poi altri due integrali analoghi e ovvi con vari segni cambiati
"Bokonon":
Quindi abbiamo due coni (con pendenza 45°) tagliati dai 2 piani, paralleli al piano xy, $ z=+-2 $ a cui togliamo il volume di una sfera centrata nell'origine di raggio 1.
Il dominio è chiaramente simmetrico rispetto al piano xy, ovvero $ z=0 $ (che andrai a considerare separatamente, risolvendo anche il modulo).
Considerando la z positiva (e analogamente poi la z negativa), il dominio da integrare è il cono per $ 0<=z<=2 $ a cui va sottratto il cono per $ 0<=z<=1/sqrt(2) $ + la sua pallina di gelato che è la cupoletta della sfera fra $ 1/sqrt(2)<=z<=1 $
Riesci a visualizzarlo?
Allora, la simmetria rispetto al piano xy l'ho vista. il dominio $0<=z<=2$ ci sono.
Il cono da sottrarre sarebbe quello che "entra" dentro la sfera?
Ma non bisogna trovare anche un dominio semplice $D$ in cui integrare in $dx$ e $dy$?
Cioè, io devo fare:
$int_0^2intint_Ddxdydz -$ $ 0<=z<=1/sqrt(2) $ + la sua pallina di gelato che è la cupoletta della sfera fra $ 1/sqrt(2)<=z<=1$ ?
Come lo trovo $D$? Non riesco a capire come trovarlo.
"Gianluk3":
Il cono da sottrarre sarebbe quello che "entra" dentro la sfera?
Si.
Però il cono + pallina gelato
Insomma, passi in coordinate cilindriche per il primo integrale (e integri direttamente solo la parte del cono che ti interessa):
$ { ( x=rhocos(theta) ),( y=rhosin(theta) ),( z=z ):} $
Quindi $1/sqrt(2)<=z<=2$
L'angolo ovviamente fa tutto il giro.
I raggi delle circonferenze ottenute intersecando il cono con i piani $1/sqrt(2)<=z<=2$ andranno anch'essi da $1/sqrt(2)<=rho<=2$ (perchè è un cono a 45°)
Quindi $int_(1/sqrt(2))^2 int_0^(2pi) int_(1/sqrt(2))^2 zrho drho d theta dz$
Per il secondo (da sottrarre) puoi usare le coordinate sferiche per integrare solo la cupolina per $1/sqrt(2)<=z<=1$
P.S. Visto che l'integranda non dipende da $theta$ l'integrale triplo si semplifica in uno doppio:
$2pi*int_(1/sqrt(2))^2 z (int_(1/sqrt(2))^2 rho drho) dz$
"Bokonon":
[quote="Gianluk3"]
Il cono da sottrarre sarebbe quello che "entra" dentro la sfera?
Si.
Però il cono + pallina gelato
Insomma, passi in coordinate cilindriche per il primo integrale (e integri direttamente solo la parte del cono che ti interessa):
$ { ( x=rhocos(theta) ),( y=rhosin(theta) ),( z=z ):} $
Quindi $1/sqrt(2)<=z<=2$
L'angolo ovviamente fa tutto il giro.
I raggi delle circonferenze ottenute intersecando il cono con i piani $1/sqrt(2)<=z<=2$ andranno anch'essi da $1/sqrt(2)<=rho<=2$ (perchè è un cono a 45°)
Quindi $int_(1/sqrt(2))^2 int_0^(2pi) int_(1/sqrt(2))^2 zrho drho d theta dz$
Per il secondo (da sottrarre) puoi usare le coordinate sferiche per integrare solo la cupolina per $1/sqrt(2)<=z<=1$
P.S. Visto che l'integranda non dipende da $theta$ l'integrale triplo si semplifica in uno doppio:
$2pi*int_(1/sqrt(2))^2 z (int_(1/sqrt(2))^2 rho drho) dz$[/quote]
Perfetto, grazie mille per l'aiuto. Sei stato molto chiaro.
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