Dominio integrale triplo
Ciao a tutti. Devo svolgere il seguente integrale triplo:
$ int int int_(Omega )z dx dy dz $
Con $Omega={(x,y,z): 0<=y-x+z<=1, (2y-z)^2+x^2<=y^2}$
Solo che non riesco a capire come a portare in forma canonica la quadrica associata alla seconda parte del dominio $Omega$
Qualcuno può spiegarmelo?
$ int int int_(Omega )z dx dy dz $
Con $Omega={(x,y,z): 0<=y-x+z<=1, (2y-z)^2+x^2<=y^2}$
Solo che non riesco a capire come a portare in forma canonica la quadrica associata alla seconda parte del dominio $Omega$
Qualcuno può spiegarmelo?
Risposte
Se operi la trasformazione
$$x=u,\ y=v,\ z=2y+w$$
le condizioni diventano
$$0\le 3v-u+w\le 1,\qquad w^2+u^2\le v^2$$
che mi paiono più semplici.
$$x=u,\ y=v,\ z=2y+w$$
le condizioni diventano
$$0\le 3v-u+w\le 1,\qquad w^2+u^2\le v^2$$
che mi paiono più semplici.
Grazie mille. Ora però ho dei dubbi sulla risoluzione dell'integrale. Io l'ho impostato così:
$ 2int_(D)int_(0)^(sqrt((v^2-u^2))) (2v+w) dw $
Con
$D={0<=3v-u<=1, v<=-u uu v>=u}$
Quindi si tratta di risolvere l'integrale:
$ 2int_(-1/4)^(1/2) du int_(0)^((1+u)/3)dvint_(0)^(sqrt((v^2-u^2))) (2v+w) dw $
È corretta come impostazione?
$ 2int_(D)int_(0)^(sqrt((v^2-u^2))) (2v+w) dw $
Con
$D={0<=3v-u<=1, v<=-u uu v>=u}$
Quindi si tratta di risolvere l'integrale:
$ 2int_(-1/4)^(1/2) du int_(0)^((1+u)/3)dvint_(0)^(sqrt((v^2-u^2))) (2v+w) dw $
È corretta come impostazione?
Ti scrivo più tardi, con calma, alcune considerazioni e il metodo che userei. Ci vuole un po' ma adesso non ho tempo.
Va bene. Grazie davvero! Intanto ti chiedo di un dubbio che mi è venuto dopo aver svolto l'integrale, ragionando sulla trasformazione che hai fatto. Più che altro perché io avrei posto $w=2y-z$ di conseguenza $z=2y-w$.
Quindi le condizioni diventano $0<=3v-u-w<=1$ e $w^2+u^2<=v^2$
Quindi le condizioni diventano $0<=3v-u-w<=1$ e $w^2+u^2<=v^2$
Scusate se mi intrometto..
ma una volta fatta quella sostituzione ed essere arrivati qui
come lo integro? come faccio a tirar fuori gli estremi di integrazione ed usare il teorema di Fubini?
userei le polari ma mi sembrano altrettanto scomode per la prima relazione, cioè $0<=3v-u-w<=1$
ma una volta fatta quella sostituzione ed essere arrivati qui
"Duj91":
Quindi le condizioni diventano $0<=3v-u-w<=1$ e $w^2+u^2<=v^2$
come lo integro? come faccio a tirar fuori gli estremi di integrazione ed usare il teorema di Fubini?
userei le polari ma mi sembrano altrettanto scomode per la prima relazione, cioè $0<=3v-u-w<=1$
Anche io avevo pensato alle polari ma poi vedendo la seconda parte del dominio ho lasciato perdere. Oltretutto anche il primo integrale che ho impostato credo proprio sia sbagliato. Vediamo cosa dice ciampax
quello che voglio dire è che lo vorrei ridurlo in forma canonica cioè in questa forma
$ \int_(a)^(b)dx \int_(c)^(d)f(x,y)dy $ per dire..
qui con quella specie di dominio non saprei come fare..
$ \int_(a)^(b)dx \int_(c)^(d)f(x,y)dy $ per dire..
qui con quella specie di dominio non saprei come fare..
Dunque, io andrei ad effettuare una seconda sostituzione con coordinate cilindriche, ponendo
$$w=\rho\cos\theta,\quad u=\rho\sin\theta,\quad v=t$$
in quanto le limitazioni sono date da una coppia di piani e di un cono. Per prima cosa osserva che, a causa della simmetria attorno all'asse del cono, possiamo dire che $\theta\in[0,2\pi)$. Sostituendo possiamo scrivere
$$0\le 3t+\rho(\cos\theta-\sin\theta)\le 1,\qquad \rho^2\le t^2$$
Ora, se indichiamo con $F(\theta)=\cos\theta-\sin\theta$ il termine dipendente da $\theta$, ci accorgiamo che le condizioni equivalgono a delle limitazioni che legano tra loro $\rho$ e $t$
$$t\ge -\frac{F(\theta)}{3}\rho,\qquad t\le-\frac{F(\theta)}{3}\rho+\frac{1}{3},\qquad (t-\rho)(t+\rho)\ge0$$
Consideriamo il piano $\rho O t$: per prima cosa osserva che servono solo il I e IV quadrante, visto che $\rho\ge 0$. Le prime due disequazioni impongono di restringerci alla fascia compresa tra le due rette parallele di coefficiente angolare $-\frac{F(\theta)}{3}$, una passante per l'origine e l'altra per il punto $(0,1/3)$. L'ultima equazione, invece, ti impone di scegliere la porzione di piano esterna alle bisettrici dei quadranti. Dal momento che il massimo di $F(\theta)$ vale $\sqrt{2}$, quando le rette hanno coefficiente angolare negativo esso vale, al massimo $-\sqrt{2}/3> -1$, per cui non ci sarà mai intersezione con la bisettrice del II e IV quadrante.
Ne segue che l'unica intersezione possibile si ha tra la retta $t=-{F(\theta)}/3\rho+1/3$ e la retta $t=\rho$ e il dominio risulta il triangolo di vertici i punti $(0,0)$, $(0,1/3)$ e il punto di intersezione appena detto, di coordinate $(1/{2+F(\theta)},)$.
Considerando che lo Jacobiano della trasformazione risulta $J=\rho$, l'integrale da calcolare è il seguente
$$\int_0^{2\pi}\int_{0}^{1/(2+F(\theta))}\int_{\rho}^{-{F(\theta)}/3\rho+1/3} \rho(2t+\rho\cos\theta)\ dt\ d\rho\ d\theta$$
Obbiettivamente, a vederlo così sembra un morso alle balle dato da un rottweiler affamato, però....
$$w=\rho\cos\theta,\quad u=\rho\sin\theta,\quad v=t$$
in quanto le limitazioni sono date da una coppia di piani e di un cono. Per prima cosa osserva che, a causa della simmetria attorno all'asse del cono, possiamo dire che $\theta\in[0,2\pi)$. Sostituendo possiamo scrivere
$$0\le 3t+\rho(\cos\theta-\sin\theta)\le 1,\qquad \rho^2\le t^2$$
Ora, se indichiamo con $F(\theta)=\cos\theta-\sin\theta$ il termine dipendente da $\theta$, ci accorgiamo che le condizioni equivalgono a delle limitazioni che legano tra loro $\rho$ e $t$
$$t\ge -\frac{F(\theta)}{3}\rho,\qquad t\le-\frac{F(\theta)}{3}\rho+\frac{1}{3},\qquad (t-\rho)(t+\rho)\ge0$$
Consideriamo il piano $\rho O t$: per prima cosa osserva che servono solo il I e IV quadrante, visto che $\rho\ge 0$. Le prime due disequazioni impongono di restringerci alla fascia compresa tra le due rette parallele di coefficiente angolare $-\frac{F(\theta)}{3}$, una passante per l'origine e l'altra per il punto $(0,1/3)$. L'ultima equazione, invece, ti impone di scegliere la porzione di piano esterna alle bisettrici dei quadranti. Dal momento che il massimo di $F(\theta)$ vale $\sqrt{2}$, quando le rette hanno coefficiente angolare negativo esso vale, al massimo $-\sqrt{2}/3> -1$, per cui non ci sarà mai intersezione con la bisettrice del II e IV quadrante.
Ne segue che l'unica intersezione possibile si ha tra la retta $t=-{F(\theta)}/3\rho+1/3$ e la retta $t=\rho$ e il dominio risulta il triangolo di vertici i punti $(0,0)$, $(0,1/3)$ e il punto di intersezione appena detto, di coordinate $(1/{2+F(\theta)},)$.
Considerando che lo Jacobiano della trasformazione risulta $J=\rho$, l'integrale da calcolare è il seguente
$$\int_0^{2\pi}\int_{0}^{1/(2+F(\theta))}\int_{\rho}^{-{F(\theta)}/3\rho+1/3} \rho(2t+\rho\cos\theta)\ dt\ d\rho\ d\theta$$
Obbiettivamente, a vederlo così sembra un morso alle balle dato da un rottweiler affamato, però....
Ciao Ciampax! Intanto grazie mille per la risposta! Ho capito tutto il tuo ragionamento anche se sinceramente non mi sarebbe mai venuto in mente di impostarlo così. Il problema però sta ora nel risolvere l'integrale. Ho provato a svolgerlo ma mi vengono fuori delle integrande proprio brutte sopratutto quella finale legata a $theta$
Per capirci questo è l'ultimo integrale che mi esce fuori:
$ 1/9int_(0)^(2pi) (F^2(theta)-3F(theta)costheta-9costheta-9)/(4(F^4(theta)+12F^3(theta)+54F^2(theta)+108F(theta)))+(3costheta-2F(theta))/(3(F^3(theta)+9F^2(theta)+27F(theta)+27))+1/(2(F^2(theta)+6F(theta)+9)) $
E mi inquieta un po'.
P.s Comunque a me l'estremo superiore di integrazione nella variabile $rho$ viene $1/(F(theta)+3)$ come avevi scritto te Ciampax prima di modificare l'intervento. Non capisco perché ti venga $1/(F(theta)+2)$
$ 1/9int_(0)^(2pi) (F^2(theta)-3F(theta)costheta-9costheta-9)/(4(F^4(theta)+12F^3(theta)+54F^2(theta)+108F(theta)))+(3costheta-2F(theta))/(3(F^3(theta)+9F^2(theta)+27F(theta)+27))+1/(2(F^2(theta)+6F(theta)+9)) $
E mi inquieta un po'.
P.s Comunque a me l'estremo superiore di integrazione nella variabile $rho$ viene $1/(F(theta)+3)$ come avevi scritto te Ciampax prima di modificare l'intervento. Non capisco perché ti venga $1/(F(theta)+2)$
Qualcuno sa dirmi se c'è qualche modo per risolvere quell'integrale o una maniera per semplificarlo?
O magari sbaglio io nei conti ma ho provato anche a rifarli e mi viene uguale
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Idee? anche gli integrali negli altri testi di esame del mio prof sono sulla falsariga di questo. Per questo ho bisogno di capire come svolgerlo
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