Dominio integrale doppio semicerchio

[Qwerty79]

Mi viene chiesto di calcolare il seguente integrale doppio

$\int int_Darctan(y/x)dxdy$

dove $D$ è il semicerchio di centro $(1,0)$ e raggio 1

Ho disegnato il semicerchio e dopo aver calcolato l'equazione ho definito il dominio
$D={(x,y) in R^2 : 0<=x<=2, 0<=y<=sqrt(2x-x^2)}$

a questo punto l'integrale diventa

$\int_0^2[int_0^(sqrt2x-x^2) arctan(y/x)dy]dx$

Secondo voi è corretto ?

[Mephlip]

"Qwerty79":

$\int_0^2[int_0^(sqrt2x-x^2) arctan(y/x)dy]dx$

Probabilmente hai solo sbagliato a trascrivere l'estremo superiore di integrazione in $y$ sul forum, in quanto l'impostazione è corretta; hai
$$\int_0^2 \left(\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} \arctan \left(\frac{y}{x} \right)\text{d}y\right) \text{d}x$$

[pilloeffe]

Ciao Qwerty79,

"Qwerty79":Secondo voi è corretto ?

Secondo me non è chiaro: di quale semicerchio stai parlando? Se stai parlando del semicerchio nel primo quadrante allora si ha:

$ D = {(x,y) \in \RR^2 : 0 <= x <= sqrt{2y-y^2}, 0 <= y <= 2} $

[Qwerty79]

Ho sbagliato a ricopiare il punto di centro che è (1,0), ho corretto.

[pilloeffe]

In tal caso, sempre se stiamo parlando del semicerchio nel primo quadrante, il dominio $D$ è quello che hai scritto e a questo punto devi correggere come ti ha già scritto Mephlip...
Se non ho fatto male i conti si ha:

$\int \int_D arctan(y/x) \text{d}x \text{d}y = \int_0^2 (\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} arctan(y/x) \text{d}y ) \text{d}x = \frac{\pi^2 - 4}{8} $