Dominio integrale doppio [correzione]

[ludwigZero]

Arruginito come non mai, mi accingo a trovare il dominio dell'integrale doppio:


${0<= x^2 +y^2 <= 4 ; -x <= y <= x}$


riscrivo il coordinate polari:

${0<=\rho^2 <= 4 ; - cos \theta <= sin \theta <= cos \theta}$

e dunque

${0<=\rho <= 2 ; - (\pi)/4 <= \theta <= (\pi)/4 }$

la funzione da integrare è questa:

$\int \int 1/(1+x^2 +y^2) dx dy = \int \int \rho/(1+\rho^2) d\rho d\theta$

che è semplice da risolvere.....mi date (s)conferma sul dominio? grazie!

[Palliit]

Ciao. Secondo me è giusto come hai fatto.

[ludwigZero]

chissà perchè ho pensato che essendo la y compresa tra la bisettrice y=-x e y=x la parte da 'colorare' (il dominio) sarebbe stato questo:

http://tinypic.com/r/2nbaj9t/6

inoltre l'altro passaggio dell'integrale sarebbe:

$=1/2 \int log (1+\rho^2) d\theta$

da qui credo vada risolto per parti..... [confermate xD]

[ludwigZero]

dato che
$[log(1+\rho^2)]_[0,2] = log 5$ non dipende da $\theta$ posso trattarla come costante e portarla fuori....

$log sqrt(5) \int d\theta = log sqrt(5) [theta]_[-\pi/4, +\pi/4]= \pi/2 log sqrt(5) $


confermate?

[ludwigZero]

aspetta.....
io $1/2$ l'ho usato con la regola dei logaritmi....e infatti $log sqrt(5)$
ti trovi?

[ludwigZero]

$[log(1+\rho^2)]_[0,2] = log 5$

$(1/2)* log (5) \int d\theta = (1/2) log (5) [theta]_[-\pi/4, +\pi/4]= \pi/4 log (5)$


così dici?