Dominio integrale doppio
Salve a tutti.
Ho un dubbio riguardo ad un dominio di un integrale doppio così definito:
$\{(x <= 0),(x^2 + y^2 >= 1),(y >= x^2):}$
Praticamente non riesco a capire se si tratta di un dominio x-semplice o y-semplice. Potete darmi una mano e magari qualche dritta per imparare a riconoscere un dominio x-semplice o y-semplice?
Grazie.
Ho un dubbio riguardo ad un dominio di un integrale doppio così definito:
$\{(x <= 0),(x^2 + y^2 >= 1),(y >= x^2):}$
Praticamente non riesco a capire se si tratta di un dominio x-semplice o y-semplice. Potete darmi una mano e magari qualche dritta per imparare a riconoscere un dominio x-semplice o y-semplice?
Grazie.
Risposte
A questi livelli si può tranquillamente fare un disegno e capire subito la situazione.
Il disegno l'ho fatto e siccome è uno dei miei primi integrali doppi non ho ancora metabolizzato bene dei concetti, per questo ho scritto chiedendo un chiarimento. Se capisco il concetto a questi livelli poi potrò muovermi verso qualcosa di più complicato non credi? Puoi aiutarmi per favore?
Guarda non so come si plottano i grafici sul forum. Comunque se l'hai disegnata allora dovrai considerare: i punti esterni alla circonferenza, i punti esterni alla parabola, il tutto compreso nella parte di piano degli $x<=0$. Non vedo dove sia il problema.
"paolotesla91":
Guarda non so come si plottano i grafici sul forum. Comunque se l'hai disegnata allora dovrai considerare: i punti esterni alla circonferenza, i punti esterni alla parabola, il tutto compreso nella parte di piano degli $x<=0$. Non vedo dove sia il problema.
No i punti sono quelli interni alla parabola, vi scrivo le istruzioni per plottare il grafico su http://www.wolframalpha.com
plot x<=0, x^2+y^2>=1, y>=x^2
Appurato ciò, date i seguenti comandi
plot x=0, x^2+y^2=1, y=x^2, y=1, x from 0 to -2, y from 0 to 3
Ebbene mi è stato detto che si può spezzare il dominio in 2 sotto-domini x-semplici, quello sotto la retta $y=1$ (ovviamente tra la circonferenza e la parabola) e quello sopra. Ora non capisco perché è stato fatto in questo modo e non capisco perché il dominio non è tutto x-semplice. Voi che dite?
Scusa volevo dire i punti interni si hai ragione. Comunque grazie per le istruzioni 
EDIT: si certo lo puoi fare! Per dominio x-semplice si intende un dominio regolare normale all'asse x, ed infatti quei due lo sono. Ora che ci rifletto un pò, facendo l'integrale sul secondo "pezzo", quello sopra la retta $y=1$, quello diventa un integrale improprio perchè scrivendolo come dominio normale rispetto ad $x$ si ha:
$int_(D_1) f(x,y)dxdy=int_(1)^(+infty) (int_(x_1)^(x_2) f(x,y)dx)dy$.
Dove: $D_1$ è la porzione di dominio considerata e $x_1,x_2$ sono gli estremi dell'intevallo di definizione relativo alla variabile $x$.
Se ho detto una stupidagine vi prego di non pensare a ciò che ho scritto.
EDIT: si certo lo puoi fare!
Per dominio x-semplice si intende un dominio regolare normale all'asse x, ed infatti quei due lo sono. Ora che ci rifletto un pò, facendo l'integrale sul secondo "pezzo", quello sopra la retta $y=1$, quello diventa un integrale improprio perchè scrivendolo come dominio normale rispetto ad $x$ si ha:$int_(D_1) f(x,y)dxdy=int_(1)^(+infty) (int_(x_1)^(x_2) f(x,y)dx)dy$.
Dove: $D_1$ è la porzione di dominio considerata e $x_1,x_2$ sono gli estremi dell'intevallo di definizione relativo alla variabile $x$.
Se ho detto una stupidagine vi prego di non pensare a ciò che ho scritto.
Bene, l'integrale sul secondo sotto-dominio è come dici tu. Ora tornando alla definizione di x-semplice credo di aver capito, correggetemi se sbaglio:
l'intero dominio non è x-semplice perché $x$ è si delimitato da 2 funzioni di $y$ MA in $y=1$ c'è uno spigolo perché la funzione che limita la $x$ da destra cambia (sopra ho una retta perpendicolare all'asse delle ascisse e sotto il quarto di circonferenza), giusto? Quindi spezzando il dominio tracciando una retta in $y=1$ ottengo 2 sotto-domini x-semplici.
Ho ragionato in modo corretto?
l'intero dominio non è x-semplice perché $x$ è si delimitato da 2 funzioni di $y$ MA in $y=1$ c'è uno spigolo perché la funzione che limita la $x$ da destra cambia (sopra ho una retta perpendicolare all'asse delle ascisse e sotto il quarto di circonferenza), giusto? Quindi spezzando il dominio tracciando una retta in $y=1$ ottengo 2 sotto-domini x-semplici.
Ho ragionato in modo corretto?
Guarda la definizione che da il tuo libro di dominio $x$-semplice.
"paolotesla91":
Guarda la definizione che da il tuo libro di dominio $x$-semplice.
è proprio quella che mi trae in inganno, infatti per le funzioni $f(y)$ e $g(y)$ che delimitano l'intervallo in cui varia $x$ impone l'ipotesi di continuità che nel mio dominio viene soddisfatta e proprio da questo fatto mi sembra di capire che non basti la continuità...più che che continue mi pare che le funzioni $f(y)$ e $g(y)$ debbano essere derivabili.
Oppure più banalmente il libro ha ragione e la scelta di dividere il dominio in 2 sotto-domini è dettata dal fatto che non è possibile scrivere in maniera esplicità la funzione che limita superiormente $x$ a causa di quello spigolo in $y=1$.
Comunque a parte questo dubbio ho afferrato il concetto ora.
Allora vediamo se cosi è più chiaro:
DEF. Sia $DsubeRR^2$. Il dominio $D$ si dice NORMALE rispetto ad x se è del tipo: $D={(x,y) in RR^2: x in [a,b]; \alpha(x)<=y<=\beta(x)}$.
Dove $\alpha(x),\beta(x)$ sono funzioni continue.
Per la normalità rispetto ad $y$ cambiano solo gli estremi degli intervalli.
DEF. Sia $DsubeRR^2$. Il dominio $D$ si dice NORMALE rispetto ad x se è del tipo: $D={(x,y) in RR^2: x in [a,b]; \alpha(x)<=y<=\beta(x)}$.
Dove $\alpha(x),\beta(x)$ sono funzioni continue.
Per la normalità rispetto ad $y$ cambiano solo gli estremi degli intervalli.
Si si è la stessa definizione del libro...allora basta la continuità e il fatto di spezzare il dominio in 2 sottodomini è dovuto al secondo motivo che ho scritto. Grazie. 
La continuità della funzione è un fatto scontato perchè altrimenti non potresti nemmeno calcolare l'integrale. Prego 
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