Dominio integrale doppio
Salve, questa volta propongo un integrale doppio.
Nella risoluzione dell'integrale
$\int\int_{D}x \sqrt(x^2+y^2) dxdy$ con $D={(x,y) \in R^2 : x^2+y^2 <= 1, y >= \frac{1}{2}}$
mi è venuto un dubbio riguardo al passaggio in coordinate polari. Utilizzandole ho trovato (aiutandomi col grafico della regione D) che $ 1/2<=\rho <= 1$ e $\pi/6 <= \theta <= 5/6 \pi$. E' corretto oppure bisogna esprimere $\rho$ in funzione di $\theta$?
Grazie
Nella risoluzione dell'integrale
$\int\int_{D}x \sqrt(x^2+y^2) dxdy$ con $D={(x,y) \in R^2 : x^2+y^2 <= 1, y >= \frac{1}{2}}$
mi è venuto un dubbio riguardo al passaggio in coordinate polari. Utilizzandole ho trovato (aiutandomi col grafico della regione D) che $ 1/2<=\rho <= 1$ e $\pi/6 <= \theta <= 5/6 \pi$. E' corretto oppure bisogna esprimere $\rho$ in funzione di $\theta$?
Grazie
Risposte
Il tuo dubbio è legittimo, infatti il dominio D di integrazione individua un segmento circolare mentre le tue condizioni
$1/2 <= \rho <= 1$ e $\pi/6 <= \theta <= 5/6 \pi$
individuano un settore circolare.
Come hai correttamente intuito l'errore sta nel fatto che il valore inferiore per $\rho$ non è costantemente $1/2$ ma dipende dall'angolo $\theta$. Con una semplice proporzione tra triangoli simili si trova che dev'essere
$1/(2sen\theta) <= \rho <= 1$
rimanendo sempre valide invece le condizioni $\pi/6 <= \theta <= 5/6 \pi$.
$1/2 <= \rho <= 1$ e $\pi/6 <= \theta <= 5/6 \pi$
individuano un settore circolare.
Come hai correttamente intuito l'errore sta nel fatto che il valore inferiore per $\rho$ non è costantemente $1/2$ ma dipende dall'angolo $\theta$. Con una semplice proporzione tra triangoli simili si trova che dev'essere
$1/(2sen\theta) <= \rho <= 1$
rimanendo sempre valide invece le condizioni $\pi/6 <= \theta <= 5/6 \pi$.
Perfetto. Mi trovo lo stesso risultato sia con le coordinate polari che senza. Grazie mille per l'intervento. 
Di niente.
Buona matematica.
Buona matematica.
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