Dominio integrale doppio
$ A={(x,y)in RR^2 : x<=0, x^2+y^2+4y<=0}$
Disegnando mi viene una semicirconferenza di centro $(0,-2)$
Il mio dubbio è questo se passo a coordinate polari centrate in $(0,-2)$ il dominio mi risulta ${0<=rho<=2;pi/2<=theta<=3/2pi)}$ se invece centro nell'origine andando a sostituire nel dominio mi viene $0<=rho<=-4sintheta$ che mi sembra una cosa molto strana dato che $rho$ deve essere maggiore o uguale di zero
Però ad occhio con le coordinate polari nell' origine io avevo pensato a questo dominio ${0<=Rho<=2;pi/2<=theta<=3/2pi}$
Qual è la strada giusta?
Disegnando mi viene una semicirconferenza di centro $(0,-2)$
Il mio dubbio è questo se passo a coordinate polari centrate in $(0,-2)$ il dominio mi risulta ${0<=rho<=2;pi/2<=theta<=3/2pi)}$ se invece centro nell'origine andando a sostituire nel dominio mi viene $0<=rho<=-4sintheta$ che mi sembra una cosa molto strana dato che $rho$ deve essere maggiore o uguale di zero
Però ad occhio con le coordinate polari nell' origine io avevo pensato a questo dominio ${0<=Rho<=2;pi/2<=theta<=3/2pi}$
Qual è la strada giusta?
Risposte
"gugo82":
Non fare l’errore dei “bambini”, che credono negativa ogni quantità con un segno $-$ davanti.
Si però se $theta=pi/2$ ottengo che $rho=-4$ come è possibile?
Sbagli ad individuare gli angoli.
Fatti un disegno.
Fatti un disegno.
Ciao lepre561,
Per sapere qual è la strada giusta, qualsiasi cosa significhi, occorre anche dare un'occhiata all'integrale doppio proposto...
"lepre561":
Qual è la strada giusta?
Per sapere qual è la strada giusta, qualsiasi cosa significhi, occorre anche dare un'occhiata all'integrale doppio proposto...
"pilloeffe":
Ciao lepre561,
[quote="lepre561"]Qual è la strada giusta?
Per sapere qual è la strada giusta, qualsiasi cosa significhi, occorre anche dare un'occhiata all'integrale doppio proposto...
[/quote]$ int int xysqrt(x^2+y^2)dxdy$
"gugo82":
Sbagli ad individuare gli angoli.
Fatti un disegno.
Dal disegno mi viene una circonferenza di $(0,-2)$
E di questa prendo solo la semicirconferenza di sx
Inoltre se mi trovo anche analiticamente con $rhocostheta<=0$
"lepre561":
[quote="gugo82"]Sbagli ad individuare gli angoli.
Fatti un disegno.
Dal disegno mi viene una circonferenza di $(0,-2)$
E di questa prendo solo la semicirconferenza di sx
Inoltre se mi trovo anche analiticamente con $rhocostheta<=0$[/quote]
Frasi lasciate incomplete, non si capisce nulla.
Ricorda che questo è un forum, non una chat.
Ad ogni modo, il tuo dominio è quello delimitato dalla curva chiusa in rosso:
[asvg]xmin=-4; xmax =4; ymin =-6; ymax =2;
axes( " ", " ");
strokewidth =2; stroke = "red";
arc([0,0],[0,-4],2); line([0,-4],[0,0]);[/asvg]
e dal disegno, se avessi imparato ad individuare graficamente le anomalie come ho ripetutamente suggerito sul forum, vedresti che $pi <= theta <= 3/2 pi$ (oppure $-pi<= theta <= -pi/2$) se fai polo in $O=(0,0)$. Dunque $sin theta <= 0$.
Ricorda: quando do un consiglio, non è per farti perder tempo; quando altri danno la soluzione completa, non sempre sono d’aiuto.
"gugo82":
[quote="lepre561"][quote="gugo82"]Sbagli ad individuare gli angoli.
Fatti un disegno.
Dal disegno mi viene una circonferenza di $(0,-2)$
E di questa prendo solo la semicirconferenza di sx
Inoltre se mi trovo anche analiticamente con $rhocostheta<=0$[/quote]
Frasi lasciate incomplete, non si capisce nulla.
Ricorda che questo è un forum, non una chat.
Ad ogni modo, il tuo dominio è quello delimitato dalla curva chiusa in rosso:
[asvg]xmin=-4; xmax =4; ymin =-6; ymax =2;
axes( " ", " ");
strokewidth =2; stroke = "red";
arc([0,0],[0,-4],2); line([0,-4],[0,0]);[/asvg]
e dal disegno, se avessi imparato ad individuare graficamente le anomalie come ho ripetutamente suggerito sul forum, vedresti che $pi <= theta <= 3/2 pi$ (oppure $-pi<= theta <= -pi/2$) se fai polo in $O=(0,0)$. Dunque $sin theta <= 0$.
Ricorda: quando do un consiglio, non è per farti perder tempo; quando altri danno la soluzione completa, non sempre sono d’aiuto.[/quote]
Perfetto grazie... spiegazione ottima
Vorrei solo scusarmi per le frasi a meta...la prossima volta rileggerò meglio il problema è che dal telefono non è la condizione ottimale...
però avrei un altro dubbio a livello grafico ho capito perfettamente il tuo ragionamento...però la mia prof vuole essere giustificata i passaggi analiticamente ...come faccio a ricavarmi quel $sintheta<=0$
"lepre561":
...come faccio a ricavarmi quel $sin\theta \le 0 $
Scusa eh, ma dato che visto l'integrale è evidente che ti conviene scegliere il polo nell'origine come ti ha già suggerito gugo82 e quindi $ pi <= theta <= (3\pi)/2 $... Da cerchio trigonometrico, quanto vale il seno di un angolo compreso fra $\pi $ e $(3\pi)/2 $ ?
oscilla tra 0 e -1...ma il mio dubbio è come ricavare analiticamente questo intervallo di $theta$
Ma che palle…
Si tratta di risolvere disequazioni e ci vuole più a farlo che a vederlo graficamente.
Sostituendo $\{(x = r cos theta), (y = r sin theta) :}$ nelle disuguaglianze che individuano il dominio e tenendo presenti gli intervalli di variazione di $r$ e $theta$ ottieni il sistema:
\[
\begin{cases}
r \cos \theta \leq 0 \\
r^2 + 4 r \sin \theta \leq 0 \\
r \geq 0 \\
0 \leq \theta \leq 2\pi
\end{cases}
\]
che, per l’appunto, ha soluzioni:
\[
\begin{cases}
\pi \leq \theta \leq \frac{3}{2}\ \pi \\
0 \leq r \leq - 4 \sin \theta
\end{cases} \; .
\]
Osserva che $r^2 + 4 r sin theta <= 0 <=> r*(r + 4 sin theta) <= 0$ ha soluzioni $0 <= r <= -4 sin theta$ solo se $sin theta <=0$, altrimenti ha solo la soluzione $r=0$.
Si tratta di risolvere disequazioni e ci vuole più a farlo che a vederlo graficamente.
Sostituendo $\{(x = r cos theta), (y = r sin theta) :}$ nelle disuguaglianze che individuano il dominio e tenendo presenti gli intervalli di variazione di $r$ e $theta$ ottieni il sistema:
\[
\begin{cases}
r \cos \theta \leq 0 \\
r^2 + 4 r \sin \theta \leq 0 \\
r \geq 0 \\
0 \leq \theta \leq 2\pi
\end{cases}
\]
che, per l’appunto, ha soluzioni:
\[
\begin{cases}
\pi \leq \theta \leq \frac{3}{2}\ \pi \\
0 \leq r \leq - 4 \sin \theta
\end{cases} \; .
\]
Osserva che $r^2 + 4 r sin theta <= 0 <=> r*(r + 4 sin theta) <= 0$ ha soluzioni $0 <= r <= -4 sin theta$ solo se $sin theta <=0$, altrimenti ha solo la soluzione $r=0$.
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