Dominio integrale di un triangolo
Salve,
sto cercando di capire come svolgere questi tipi di integrali, ho visto che ci sono diversi metodi di svolgimento. Spero che quanto scriverò possa essere il più chiaro possibile per farvi capire quali sono le mie problematiche.
I vertici dei trinagoli sono dati da punti 0 e 1 tranne per il triangoloN. 5 che abbiamo un punto (2,0).
Se dovrei trovarmi il dominio io ragiono in questo modo:
1° triangolo
La retta dell'ipotenusa è [tex]y=x[/tex] quindi D: { 0$<=$x$<=$1 , x$<=$y$<=$1}
2° triangolo
La retta dell'ipotenusa è[tex]y=x[/tex] quindi D: { 0$<=$x$<=$1 , 0$<=$y$<=$x}
3° triangolo
La retta dell'ipotenusa è[tex]x+y=1[/tex]$=>$ [tex]y=1-x[/tex] quindi D: { 0$<=$x$<=$1 , 1-x$<=$y$<=$1}
4° triangolo
La retta dell'ipotenusa è[tex]x+y=1[/tex] $=>$ [tex]y=1-x[/tex] quindi D: { 0$<=$x$<=$1 , 0$<=$y$<=$1-x}
5° triangolo
Qui ho visto che il dominio è D: { 0$<=$x$<=$2 , x$<=$y$<=$2-x}
Non ho capito come viene l'intervallo della y. Le due rette sono [tex]y=x[/tex] è [tex]x+y=2[/tex] poi qualè il ragionamento da fare?
6° triangolo
Stesso problema...
Nel 6° triangolo abbiamo una simmetria... posso applicare qualche scorciatoia? tipo mettere un 2 davanti l'integrale e farmi solo 1 triangolo o calcolarmene solo uno...
Ho visto anche alcuni integrali svolti con il cambio di variabili u,v. Ne ho svolti alcuni ma anche li a volte non so come procedere.
Spero di essere stato chiaro...
ciao e grazie..
sto cercando di capire come svolgere questi tipi di integrali, ho visto che ci sono diversi metodi di svolgimento. Spero che quanto scriverò possa essere il più chiaro possibile per farvi capire quali sono le mie problematiche.
I vertici dei trinagoli sono dati da punti 0 e 1 tranne per il triangoloN. 5 che abbiamo un punto (2,0).
Se dovrei trovarmi il dominio io ragiono in questo modo:
1° triangolo
La retta dell'ipotenusa è [tex]y=x[/tex] quindi D: { 0$<=$x$<=$1 , x$<=$y$<=$1}
2° triangolo
La retta dell'ipotenusa è[tex]y=x[/tex] quindi D: { 0$<=$x$<=$1 , 0$<=$y$<=$x}
3° triangolo
La retta dell'ipotenusa è[tex]x+y=1[/tex]$=>$ [tex]y=1-x[/tex] quindi D: { 0$<=$x$<=$1 , 1-x$<=$y$<=$1}
4° triangolo
La retta dell'ipotenusa è[tex]x+y=1[/tex] $=>$ [tex]y=1-x[/tex] quindi D: { 0$<=$x$<=$1 , 0$<=$y$<=$1-x}
5° triangolo
Qui ho visto che il dominio è D: { 0$<=$x$<=$2 , x$<=$y$<=$2-x}
Non ho capito come viene l'intervallo della y. Le due rette sono [tex]y=x[/tex] è [tex]x+y=2[/tex] poi qualè il ragionamento da fare?
6° triangolo
Stesso problema...
Nel 6° triangolo abbiamo una simmetria... posso applicare qualche scorciatoia? tipo mettere un 2 davanti l'integrale e farmi solo 1 triangolo o calcolarmene solo uno...
Ho visto anche alcuni integrali svolti con il cambio di variabili u,v. Ne ho svolti alcuni ma anche li a volte non so come procedere.
Spero di essere stato chiaro...
ciao e grazie..
Risposte
Ciao e benvenuto nel forum.
Augurandoti una buona permanenza ti invito a leggere il regolamento e di imparare ad usare i codici per scrivere le formule matematiche.
Augurandoti una buona permanenza ti invito a leggere il regolamento e di imparare ad usare i codici per scrivere le formule matematiche.
"Lorin":
... ti invito a [...] imparare ad usare i codici per scrivere le formule matematiche.
Già che ci siamo invitiamolo anche a dare un'aggiustatina ai congiuntivi...
(Sto scherzando, neh)
grazie per il benvenuto e per i link lorin, leggerò quanto prima....
Rigel già che ci siamo potresti anche darmi una risposta alla mia domanda che sicuramente mi sarà più utile da leggere
(siamo in festività...si skerza)
Rigel già che ci siamo potresti anche darmi una risposta alla mia domanda che sicuramente mi sarà più utile da leggere
(siamo in festività...si skerza)
Rimanendo in tema...
La y del 5° triangolo a vista si vede che potrebbe andare da x a 2-x appunto prendendole dalle rette, però come faccio a capire gli estremi di integrazione? del 6° triangolo dovrebbe essere -1$<=$x$<=$1 , -x$<=$y$<=$x ????
ES:
$\int_{-1}^{1}[ int_{-x}^{x} (|xy|)/(1+x^4) dy]dx$
Gli estremi li ho dati io...la funzione è quella dell'esercizio (il triangolo 6 anche)
La y del 5° triangolo a vista si vede che potrebbe andare da x a 2-x appunto prendendole dalle rette, però come faccio a capire gli estremi di integrazione? del 6° triangolo dovrebbe essere -1$<=$x$<=$1 , -x$<=$y$<=$x ????
ES:
$\int_{-1}^{1}[ int_{-x}^{x} (|xy|)/(1+x^4) dy]dx$
Gli estremi li ho dati io...la funzione è quella dell'esercizio (il triangolo 6 anche)
"oGladiatore":
Rigel già che ci siamo potresti anche darmi una risposta alla mia domanda che sicuramente mi sarà più utile da leggere
Certo che sì, stiamo qui apposta!
Vediamo un po' il sesto triangolo:
i due lati inferiori sono il grafico della funzione $h(x) = |x|$ per $x\in [-1,1]$;
il lato superiore è il grafico della funzione costante $g(x) = 1$, sempre per $x\in [-1,1]$.
La regione che ti interessa è quella compresa fra i grafici di queste due funzioni, vale a dire
$D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x\in [-1,1], h(x) \le y \le g(x)\} = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: -1\le x\le 1, |x| \le y \le 1\}$.
Il dominio è simmetrico rispetto all'asse delle $y$, cioè è invariante rispetto alla simmetria $S(x,y) = (-x, y)$, e la funzione $f(x,y)$ da integrare è invariante rispetto alla medesima simmetria, cioè $f(S(x,y)) = f(x,y)$ per ogni $(x,y)\in D$.
Di conseguenza il tuo integrale può essere scritto come due volte l'integrale sul mezzo triangolo di destra (o di sinistra, è lo stesso):
$I = 2\int_0^1 [\int_x^1 \frac{xy}{1+x^4} dy]dx$.
Grazie per la risposta....
Ho disegnato il grafico di $|x|$ perchè non ero sicuro vi aver capito, lo ricordavo diverso
Quindi la soluzione di questi integrali con questo metodo e di trovarsi le equazioni delle rette per gli estremi della y. mi sorge una domanda: quando abbiamo una simmetria verticale posso sempre calcolarmi un solo triangolo e mettere il 2 davanti l'integrale? L'area dovrebbe essere sempre la stessa.....
Adesso per mio puro passatempo mi svolgo entrambi gli integrali...
$\int_{-1}^{1}[ int_{|x|}^{1} (xy)/(1+x^4) dy]dx$
2$\int_{0}^{1}[ int_{|x|}^{1} (xy)/(1+x^4) dy]dx$
Nel triangolo 5 il mio ragionamento per arrivare a $x$ e $2-x$ va bene?
Ho disegnato il grafico di $|x|$ perchè non ero sicuro vi aver capito, lo ricordavo diverso
Quindi la soluzione di questi integrali con questo metodo e di trovarsi le equazioni delle rette per gli estremi della y. mi sorge una domanda: quando abbiamo una simmetria verticale posso sempre calcolarmi un solo triangolo e mettere il 2 davanti l'integrale? L'area dovrebbe essere sempre la stessa.....
Adesso per mio puro passatempo mi svolgo entrambi gli integrali...
$\int_{-1}^{1}[ int_{|x|}^{1} (xy)/(1+x^4) dy]dx$
2$\int_{0}^{1}[ int_{|x|}^{1} (xy)/(1+x^4) dy]dx$
Nel triangolo 5 il mio ragionamento per arrivare a $x$ e $2-x$ va bene?
Triangolo 5: $\int_0^1 \int_0^x f(x,y) dy dx + \int_1^2 \int_0^{2-x} f(x,y) dy dx$.
Se il dominio è simmetrico rispetto all'asse delle $y$ puoi fare due volte l'integrale su mezzo dominio solo se la funzione è pari rispetto a quella simmetria, cioè solo se $f(x,y) = f(-x, y)$.
Se il dominio è simmetrico rispetto all'asse delle $y$ puoi fare due volte l'integrale su mezzo dominio solo se la funzione è pari rispetto a quella simmetria, cioè solo se $f(x,y) = f(-x, y)$.
ok, nel triangolo 5 hai diviso in 2 triangoli e hai integrato... poi farò le prove con una sola integrazione per vedere se viene lo stesso risultato....
Tornando al triangolo 6 mi è sorto un problema durante la soluzione....
Provo a fare tutti i passaggi...
$\int_{-1}^{1}[ int_{|x|}^{1} (xy)/(1+x^4) dy]dx = int_{-1}^{1} (x)/(1+x^4)[ (y^2)/(2) ](da x a 1)dx = int_{-1}^{1} (x)/(1+x^4)[ 1/2 - (x^2)/2 ]dx = 1/2 int_{-1}^{1} (x-x^3)/(1+x^4)dx$
A questo punto posso dividere l'integrale... il secondo mi diventa un logaritmo mettendo un $1/4$ davanti l'integrale, mentre ilprimo sto cercando una soluzione veloce escludendo robe come per parti...
Potrei anche non dividerlo poichè il grado del denominatore è maggiore rispetto al numeratore, ma dovrei trovare il delta di $1+x^4$ e non riesco ne a scomporlo ne ad applicare 2 volte ruffini.... bho mi sto perdendo.... come lo risolveresti tu?
Tornando al triangolo 6 mi è sorto un problema durante la soluzione....
Provo a fare tutti i passaggi...
$\int_{-1}^{1}[ int_{|x|}^{1} (xy)/(1+x^4) dy]dx = int_{-1}^{1} (x)/(1+x^4)[ (y^2)/(2) ](da x a 1)dx = int_{-1}^{1} (x)/(1+x^4)[ 1/2 - (x^2)/2 ]dx = 1/2 int_{-1}^{1} (x-x^3)/(1+x^4)dx$
A questo punto posso dividere l'integrale... il secondo mi diventa un logaritmo mettendo un $1/4$ davanti l'integrale, mentre ilprimo sto cercando una soluzione veloce escludendo robe come per parti...
Potrei anche non dividerlo poichè il grado del denominatore è maggiore rispetto al numeratore, ma dovrei trovare il delta di $1+x^4$ e non riesco ne a scomporlo ne ad applicare 2 volte ruffini.... bho mi sto perdendo.... come lo risolveresti tu?
Io farei la sostituzione $t=x^2$.
ho svolto tutto e mi viene 0 con gli estremi da -1 a 1 
in triangoli del genere il dominio è così?
1° $0<=x<=1 , 1<=y<=|x|$
2° $-1<=x<=1 , -1<=y<=|x|$
3° $-1<=x<=0 , 1<=y<=|x|$
non ne sono molto sicuro....
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