Dominio in coordinate polari di un integrale doppio
Salve,
il dominio del mio integrale è:
(x,y) t.c.x^2+y^2<4 , x^2+y^2+2x>0
praticamente ho una circonferenza di raggio 2 e centro C(0,0) meno una circonfernza di raggio 1 e centro (-1,0)
la mia prim domanda è:
1)posso calcolarmi l'integrale sul dominioA(circonferenza grande) con
x=r cost
y=r sint cn 0
x= -1+rcost
y=sint con 0
2)volendo calcolare un solo integrale quali sn gli estremi per il raggio e l'angolo?
un MEGA GRAZIE a chi mi darà una mano(voglio capire bn cm muovermi con le coordinate polari..)
il dominio del mio integrale è:
(x,y) t.c.x^2+y^2<4 , x^2+y^2+2x>0
praticamente ho una circonferenza di raggio 2 e centro C(0,0) meno una circonfernza di raggio 1 e centro (-1,0)
la mia prim domanda è:
1)posso calcolarmi l'integrale sul dominioA(circonferenza grande) con
x=r cost
y=r sint cn 0
x= -1+rcost
y=sint con 0
2)volendo calcolare un solo integrale quali sn gli estremi per il raggio e l'angolo?
un MEGA GRAZIE a chi mi darà una mano(voglio capire bn cm muovermi con le coordinate polari..)
Risposte
ciao, dunque, visto che non hai messo altre funzioni immagino tu voglia solo conoscere la misura del dominio. In tal caso alla tua prima domanda rispondo si assolutamente, dando per scontato che tu sappia calcolare correttamente l'integrale.
L'unica difficoltà, per così dire, di questo esercizio è prendere le porzioni giuste, o in altre parole sottrarre all'area "grande" la parte corretta di area "piccola". In questo il disegno del dominio aiuta davvero molto; disegnando queste circonferenze ti accorgi che la prima contiene interamente la seconda, quindi ti basta calcolare la misura dell'area "grande" e sottrarvi quella della "piccola" ed hai finito. A rigore dovresti calcolare due integrali doppi, ma in realtà ti basta la formuletta dell'area di un cerchio
Per quanto riguarda la seconda domanda, per fare tutto in un solo integrale dovresti avere un raggio variabile, in dipendenza quantomeno dall'angolo (ed ora, all'una di notte, non saprei neanche dirti come). Magari si può fare ma diventa decisamente più complicato: da calcolare le aree di due cerchi e fare una sottrazione passi a cercare una applicazione che ti dia il raggio in funzione dell'angolo, senza garanzia che esista. L'autolesionismo ha un limite a mio parere.
A volte, in questi esercizi, tornano utili anche le care vecchie coordinate cartesiane, almeno finchè hai delle curve in cui è facile ricavare una variabile in funzione dell'altra. In questo caso si può fare così: spezzi in 3 integrali, il primo con $x in [-2,0 ] $ ed $y in [sqrt(1-(x+1)^2), sqrt(2-x^2)]$, il secondo sempre con $x in [-2,0 ] $ ma $y in [-sqrt(2-x^2), -sqrt(1-(x+1)^2)]$ ed infine il terzo (che alla fine non servirebbe ma vabbè) con $x in [0,2 ] $ ed $y in [-sqrt(2-x^2), sqrt(2-x^2)]$. In questo modo hai considerato tutti i pezzi del dominio, quindi sommandone le misure hai la misura che ti serve.Tuttavia, per questo esercizio, questo è farsi del male senza scopo: l'idea di usare le coordinate polari anzichè le cartesiane è proprio quella di risparmiarti conti del genere. Può però tornarti utile con altre curve meno facili da gestire, ad esempio intersecando una circonferenza ed una parabola.
L'unica difficoltà, per così dire, di questo esercizio è prendere le porzioni giuste, o in altre parole sottrarre all'area "grande" la parte corretta di area "piccola". In questo il disegno del dominio aiuta davvero molto; disegnando queste circonferenze ti accorgi che la prima contiene interamente la seconda, quindi ti basta calcolare la misura dell'area "grande" e sottrarvi quella della "piccola" ed hai finito. A rigore dovresti calcolare due integrali doppi, ma in realtà ti basta la formuletta dell'area di un cerchio
Per quanto riguarda la seconda domanda, per fare tutto in un solo integrale dovresti avere un raggio variabile, in dipendenza quantomeno dall'angolo (ed ora, all'una di notte, non saprei neanche dirti come). Magari si può fare ma diventa decisamente più complicato: da calcolare le aree di due cerchi e fare una sottrazione passi a cercare una applicazione che ti dia il raggio in funzione dell'angolo, senza garanzia che esista. L'autolesionismo ha un limite a mio parere.
A volte, in questi esercizi, tornano utili anche le care vecchie coordinate cartesiane, almeno finchè hai delle curve in cui è facile ricavare una variabile in funzione dell'altra. In questo caso si può fare così: spezzi in 3 integrali, il primo con $x in [-2,0 ] $ ed $y in [sqrt(1-(x+1)^2), sqrt(2-x^2)]$, il secondo sempre con $x in [-2,0 ] $ ma $y in [-sqrt(2-x^2), -sqrt(1-(x+1)^2)]$ ed infine il terzo (che alla fine non servirebbe ma vabbè) con $x in [0,2 ] $ ed $y in [-sqrt(2-x^2), sqrt(2-x^2)]$. In questo modo hai considerato tutti i pezzi del dominio, quindi sommandone le misure hai la misura che ti serve.Tuttavia, per questo esercizio, questo è farsi del male senza scopo: l'idea di usare le coordinate polari anzichè le cartesiane è proprio quella di risparmiarti conti del genere. Può però tornarti utile con altre curve meno facili da gestire, ad esempio intersecando una circonferenza ed una parabola.
Ragazzi e ragazze, vi prego, mi serve una mano con questo dominio,
Vorrei capire come si parametrizza in coordinate polari, ( in una sola volta) quindi con
Il raggio variabile, io ho ipotizzato tra 2 e -cos(t)
È giusto? E poi l'angolo t tra quali valori e' compreso???
Vi prego, una mano, aiutatemi a capire, grazie..
Vorrei capire come si parametrizza in coordinate polari, ( in una sola volta) quindi con
Il raggio variabile, io ho ipotizzato tra 2 e -cos(t)
È giusto? E poi l'angolo t tra quali valori e' compreso???
Vi prego, una mano, aiutatemi a capire, grazie..
Buon giorno a tutti,
non mi do ancora per vinto.. scriverò in un linguaggio matematico più comprensibile,
essendo il mio dominio dato dalle due condizioni:
$ x^2+y^2<=4 , x^2+y^2+2x>=0 $
fissate un sistema di coordinate polari con centro nell'origine, avremo
$ x=\rho cos\theta , y=\rho sin\theta $
sostituendo nel dominio, ho la ragionevole certezza di dire che il mio $\rho$ sia:
$ -2cos\theta<=\rho<=2 $
e $\theta$??? non riesco proprio a "inquadrarlo", all'inizio pensavo
$ (2/3)\pi<=\theta<=(-2/3)\pi $
ma nn mi convince, potrebbe anche essere :
$ 0<=\theta<=2\pi $
ho il cervello in bambola, chi riesce a districare questa matassa, magari anche facendomi capire
una volta e per sempre come operare???
Un grazie in anticipo a tutti, scusate per l'insistenza..
non mi do ancora per vinto.. scriverò in un linguaggio matematico più comprensibile,
essendo il mio dominio dato dalle due condizioni:
$ x^2+y^2<=4 , x^2+y^2+2x>=0 $
fissate un sistema di coordinate polari con centro nell'origine, avremo
$ x=\rho cos\theta , y=\rho sin\theta $
sostituendo nel dominio, ho la ragionevole certezza di dire che il mio $\rho$ sia:
$ -2cos\theta<=\rho<=2 $
e $\theta$??? non riesco proprio a "inquadrarlo", all'inizio pensavo
$ (2/3)\pi<=\theta<=(-2/3)\pi $
ma nn mi convince, potrebbe anche essere :
$ 0<=\theta<=2\pi $
ho il cervello in bambola, chi riesce a districare questa matassa, magari anche facendomi capire
una volta e per sempre come operare???
Un grazie in anticipo a tutti, scusate per l'insistenza..
In generale, se $A\subseteq B\subseteq RR^2$ e $f:B\to RR$ è integrabile, vale questo:
\[\iint_{B\setminus A} f(x)\,\text{d}x\,\text{d}y=\iint_{B} f(x)\,\text{d}x\,\text{d}y-\iint_{A} f(x)\,\text{d}x\,\text{d}y\]
Il cerchio $D_1$ di equazione $x^2+y^2\le 4$ contiene il cerchio $D_2$ di equazione $x^2+y^2+2x\le 0$ (cioè $(x+1)^2+y^2\le 1$); noi stiamo integrando su $D_1\setminus D_2$. Continui tu?
\[\iint_{B\setminus A} f(x)\,\text{d}x\,\text{d}y=\iint_{B} f(x)\,\text{d}x\,\text{d}y-\iint_{A} f(x)\,\text{d}x\,\text{d}y\]
Il cerchio $D_1$ di equazione $x^2+y^2\le 4$ contiene il cerchio $D_2$ di equazione $x^2+y^2+2x\le 0$ (cioè $(x+1)^2+y^2\le 1$); noi stiamo integrando su $D_1\setminus D_2$. Continui tu?
"Plepp":
In generale, se $ A\subseteq B\subseteq RR^2 $ e $ f:B\to RR $ è integrabile, vale questo:
\[ \iint_{B\setminus A} f(x)\,\text{d}x\,\text{d}y=\iint_{B} f(x)\,\text{d}x\,\text{d}y-\iint_{A} f(x)\,\text{d}x\,\text{d}y \]
Il cerchio $ D_1 $ di equazione $ x^2+y^2\le 4 $ contiene il cerchio $ D_2 $ di equazione $ x^2+y^2+2x\le 0 $ (cioè $ (x+1)^2+y^2\le 1 $); noi stiamo integrando su $ D_1\setminus D_2 $. Continui tu?
Il problema è che lui lo vuole per forza parametrizzare e non risolvere così.
Parametrizzarlo tutto (senza dividerlo per pezzi) in coordinate polari è un inutile delirio. Quantomeno considera solo la parte \(y \ge 0\) e forse ne cavi qualcosa. L'angolo in questo caso sarà banalmente \([0,\pi]\), ma il vero problema è il raggio.
Salve, grazie per la risposta,
io voglio capire se è davvero così "complicato" e da "inutile delirio" risolvere con un unico integrale
un "doppio" definito su un dominio di questo tipo.
E' sbagliato il mio ragionamento su $\theta$ per quanto riguarda la parametrizzazione con un unico integrale?
Cogliendo a volo il suggerimento di valutare la parte con $y>=0$
allora fermo restando che il raggio $\rho$ sia: $ -2cos\theta<=\rho<=2$ e che
come tu mi suggerisci l'angolo è banalmente $0<=\theta<=\pi$
l'arcano dovrebbe essere risolto perche poi dovrei aggiungere la parte simmetrica rispetto all'asse x
dove il raggio $\rho$ non varia ma l'angolo invece sarà $-\pi<=\theta<=0$
e quindi a questo punto la logica mi suggerisce che volendo sempre "cocciutamente" fare un unico integrale
l'angolo sarà: $-\pi<=\theta<=\pi$
giusto?
io voglio capire se è davvero così "complicato" e da "inutile delirio" risolvere con un unico integrale
un "doppio" definito su un dominio di questo tipo.
E' sbagliato il mio ragionamento su $\theta$ per quanto riguarda la parametrizzazione con un unico integrale?
Cogliendo a volo il suggerimento di valutare la parte con $y>=0$
allora fermo restando che il raggio $\rho$ sia: $ -2cos\theta<=\rho<=2$ e che
come tu mi suggerisci l'angolo è banalmente $0<=\theta<=\pi$
l'arcano dovrebbe essere risolto perche poi dovrei aggiungere la parte simmetrica rispetto all'asse x
dove il raggio $\rho$ non varia ma l'angolo invece sarà $-\pi<=\theta<=0$
e quindi a questo punto la logica mi suggerisce che volendo sempre "cocciutamente" fare un unico integrale
l'angolo sarà: $-\pi<=\theta<=\pi$
giusto?
Secondo me ha ragione Emar: il modo migliore per risolvere un esercizio è il più semplice (magari vieni anche più apprezzato se si tratta di un esame).
Detto ciò, non dovrebbe essere troppo complicato parametrizzare questa sottospecie di luna crescente. Chiaro che $\theta\in [0,\2pi]$; abbiamo poi:
\[0 \le x^2+y^2\le 4\iff 0 \le \rho\le 2\qquad x^2+y^2+2x\ge 0\iff \rho \ge -2\cos\theta\]
quindi
\[g(\theta):=\max\{-2\cos\theta, 0\}\le\rho \le 2\]
Resta da determinare $g(\theta)$ ($=(-2\cos\theta)^+$).
Ne vale la pena?
Detto ciò, non dovrebbe essere troppo complicato parametrizzare questa sottospecie di luna crescente. Chiaro che $\theta\in [0,\2pi]$; abbiamo poi:
\[0 \le x^2+y^2\le 4\iff 0 \le \rho\le 2\qquad x^2+y^2+2x\ge 0\iff \rho \ge -2\cos\theta\]
quindi
\[g(\theta):=\max\{-2\cos\theta, 0\}\le\rho \le 2\]
Resta da determinare $g(\theta)$ ($=(-2\cos\theta)^+$).
Ne vale la pena?
Ne ho discusso con un altro utente (che sa fare gli integrali meglio di me) la settimana scorsa relativamente ad una discussione simile.
Vi sono pressoché due metodi e penso che la preferenza dipenda dalla funzione integranda. Il tuo è una sorta di terzo metodo, funziona ma è meglio prima descrivere il secondo. Il primo, che proponevo io e che alla fine si è dimostrato più lungo, consiste nel risolverlo usando la differenza di due integrali. Il principio è l'additività degli integrali. Inoltre, per facilitare le cose, puoi calcolarli stando al centro di entrambi (cioè usando una traslazione dello spazio nell'integrale dell'area piccola).
Il secondo, che proponeva lui, era quello di spostarsi nel punto di intersezione dei due cerchi, \((-2,0)\) nel tuo caso, e portarti in coordinate polari lì. La ragione è che ogni semiretta passante per quel punto e diretta verso l'interno delle circonferenze incontrerà le circonferenze in esattemante in un altro punto e sempre prima la più piccola e poi la più grande. Pertanto si avrà che il dominio sarà semplice rispetto a raggio \(\rho\).
Il primo metodo è semplice in termine di trasformazioni, occupiamoci quindi del secondo.
1) Trasliamo lo spazio in modo da centrarlo in \((-2,0)\). Avremo quindi le circonferenze \(\displaystyle X^2 + X^2 - 4X \le 0 \) e \(\displaystyle X^2 + X^2 - 2X \le 0 \).
2) Trasformare in coordinate polari con \(\displaystyle X = \rho\cos\vartheta \) e \(\displaystyle Y = \rho\sin\vartheta \). Sostituendo nelle equazioni ricavi \(\displaystyle \rho^2(\cos^2\vartheta + \sin^2\vartheta) - 4\rho\cos\vartheta \le 0 \), cioè \(\displaystyle \rho(\rho - 4\cos\vartheta) \le 0 \) ed essendo \(\displaystyle \rho > 0 \) si ricava \(\displaystyle \rho \le 4\cos\vartheta \). Similmente nell'altro caso si ricava \(\displaystyle \rho \ge 2\cos\vartheta \). Pertanto si ha che il dominio è \(\displaystyle \bigl\{(\rho, \vartheta) : -\pi/2 <\vartheta< \pi/2,\; 2\cos\vartheta \le \rho \le 4\cos\vartheta \bigr\}\) che è evidentemente ben definito.
Il tuo metodo è una sorta di via di mezzo anche se io, sinceramente, dividerei l'integrale in due. Se tu trasformi subito in coordinate polari hai che \(\displaystyle \rho < 2 \) per la prima circonferenza, \(\displaystyle \rho > 0 \) per \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}\le \vartheta\le\frac{\pi}{2} \) e, usando lo stesso principio del secondo metodo, \(\displaystyle \rho \ge -2\cos\vartheta \) per \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\le \vartheta\le\frac{3\pi}{2} \). Dato il \(\displaystyle \max \), trovo sia meglio comunque spezzare in due l'integrale.
Vi sono pressoché due metodi e penso che la preferenza dipenda dalla funzione integranda. Il tuo è una sorta di terzo metodo, funziona ma è meglio prima descrivere il secondo. Il primo, che proponevo io e che alla fine si è dimostrato più lungo, consiste nel risolverlo usando la differenza di due integrali. Il principio è l'additività degli integrali. Inoltre, per facilitare le cose, puoi calcolarli stando al centro di entrambi (cioè usando una traslazione dello spazio nell'integrale dell'area piccola).
Il secondo, che proponeva lui, era quello di spostarsi nel punto di intersezione dei due cerchi, \((-2,0)\) nel tuo caso, e portarti in coordinate polari lì. La ragione è che ogni semiretta passante per quel punto e diretta verso l'interno delle circonferenze incontrerà le circonferenze in esattemante in un altro punto e sempre prima la più piccola e poi la più grande. Pertanto si avrà che il dominio sarà semplice rispetto a raggio \(\rho\).
Il primo metodo è semplice in termine di trasformazioni, occupiamoci quindi del secondo.
1) Trasliamo lo spazio in modo da centrarlo in \((-2,0)\). Avremo quindi le circonferenze \(\displaystyle X^2 + X^2 - 4X \le 0 \) e \(\displaystyle X^2 + X^2 - 2X \le 0 \).
2) Trasformare in coordinate polari con \(\displaystyle X = \rho\cos\vartheta \) e \(\displaystyle Y = \rho\sin\vartheta \). Sostituendo nelle equazioni ricavi \(\displaystyle \rho^2(\cos^2\vartheta + \sin^2\vartheta) - 4\rho\cos\vartheta \le 0 \), cioè \(\displaystyle \rho(\rho - 4\cos\vartheta) \le 0 \) ed essendo \(\displaystyle \rho > 0 \) si ricava \(\displaystyle \rho \le 4\cos\vartheta \). Similmente nell'altro caso si ricava \(\displaystyle \rho \ge 2\cos\vartheta \). Pertanto si ha che il dominio è \(\displaystyle \bigl\{(\rho, \vartheta) : -\pi/2 <\vartheta< \pi/2,\; 2\cos\vartheta \le \rho \le 4\cos\vartheta \bigr\}\) che è evidentemente ben definito.
Il tuo metodo è una sorta di via di mezzo anche se io, sinceramente, dividerei l'integrale in due. Se tu trasformi subito in coordinate polari hai che \(\displaystyle \rho < 2 \) per la prima circonferenza, \(\displaystyle \rho > 0 \) per \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}\le \vartheta\le\frac{\pi}{2} \) e, usando lo stesso principio del secondo metodo, \(\displaystyle \rho \ge -2\cos\vartheta \) per \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\le \vartheta\le\frac{3\pi}{2} \). Dato il \(\displaystyle \max \), trovo sia meglio comunque spezzare in due l'integrale.
"Plepp":
Secondo me ha ragione Emar: il modo migliore per risolvere un esercizio è il più semplice (magari vieni anche più apprezzato se si tratta di un esame).
Detto ciò, non dovrebbe essere troppo complicato parametrizzare questa sottospecie di luna crescente. Chiaro che $\theta\in [0,\2pi]$; abbiamo poi:
\[0 \le x^2+y^2\le 4\iff 0 \le \rho\le 2\qquad x^2+y^2+2x\ge 0\iff \rho \ge -2\cos\theta\]
quindi
\[g(\theta):=\max\{-2\cos\theta, 0\}\le\rho \le 2\]
Resta da determinare $g(\theta)$ ($=(-2\cos\theta)^+$).
Ne vale la pena?
Grazie Plepp,
quindi è sbagliato "bollare" il raggio della mia "specie di luna crescente" semplicemente come
$-2cos\theta<=\rho<=2$
giusto?
"ing.mecc":
Grazie Plepp,
quindi è sbagliato "bollare" il raggio della mia "specie di luna crescente" semplicemente come
$-2cos\theta<=\rho<=2$
giusto?
Certo, il raggio deve essere sempre positivo e il coseno non lo è.
@ing.mecc: e beh è chiaro insomma, $-2\cos\theta$ diventa negativo. Per $\theta= 0$, per esempio, ti ritroveresti un raggio che varia tra $-2$ e $2$.
insomma, $-2\cos\theta$ diventa negativo. Per $\theta= 0$, per esempio, ti ritroveresti un raggio che varia tra $-2$ e $2$.
ok ok, grazie per le risposte e la pazienza mostrata, e ora passiamo al calcolo di questo integrale(spezzandolo )
la traccia è $ \int int (sqrt(x^2+y^2) dx dy $ naturalmente sul dominio di cui sopra...
per quanto riguarda la circonferenza grande, converrete tutti che $ x=\rho cos\theta, y=\rho sin\theta$
con $0<=\rho<=2 , 0<=\theta<=2\pi$
per cui l'integrale diventa:
$ \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{2} \rho^2 d\rho $ che banalmente è pari a $(16\pi)/3$
giusto?Spero proprio di si, ora passando alla circonferenza piccola credo che la migliore parametrizzazione,guardando la funzione integranda, sia : $ x=\rho cos\theta , y=\rho sin\theta $ con $0<=\rho<=2cos\theta , (-\pi/2)<=\theta<=(\pi/2)$
spero sia tutto corretto, così l'integrale diventa:
$ \int_{(-\pi)/2}^{\pi/2} d\theta \int_{0}^{2cos\theta} \rho^2 d\rho $ che ha come risultato $32/9$
per cui il risultato finale è $(16\pi)/3-32/9$
giusto???
)la traccia è $ \int int (sqrt(x^2+y^2) dx dy $ naturalmente sul dominio di cui sopra...
per quanto riguarda la circonferenza grande, converrete tutti che $ x=\rho cos\theta, y=\rho sin\theta$
con $0<=\rho<=2 , 0<=\theta<=2\pi$
per cui l'integrale diventa:
$ \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{2} \rho^2 d\rho $ che banalmente è pari a $(16\pi)/3$
giusto?Spero proprio di si, ora passando alla circonferenza piccola credo che la migliore parametrizzazione,guardando la funzione integranda, sia : $ x=\rho cos\theta , y=\rho sin\theta $ con $0<=\rho<=2cos\theta , (-\pi/2)<=\theta<=(\pi/2)$
spero sia tutto corretto, così l'integrale diventa:
$ \int_{(-\pi)/2}^{\pi/2} d\theta \int_{0}^{2cos\theta} \rho^2 d\rho $ che ha come risultato $32/9$
per cui il risultato finale è $(16\pi)/3-32/9$
giusto???
Sono d'accordo (EDIT: sul primo integrale) 
Comunque ti consiglio di dare un'occhiata anche al post di vict85 (nel caso tu non l'abbia notato). E' bene confrontare approcci diversi a questo tipo di esercizi.
EDIT: nel secondo integrale gli estremi sono $0$ e $-2\cos\theta$ ($>0$)!
Comunque ti consiglio di dare un'occhiata anche al post di vict85 (nel caso tu non l'abbia notato). E' bene confrontare approcci diversi a questo tipo di esercizi.
EDIT: nel secondo integrale gli estremi sono $0$ e $-2\cos\theta$ ($>0$)!
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