Dominio f(x) elevata ad esponente irrazionale
Ho difficoltà a determinare il dominio di una funzione del tipo $f(x)^\alpha$ con $\alpha \in I$.
Se $\alpha \in \QQ$, dalle proprietà delle potenze si ottiene che $f(x)^\alpha = (root(n)(f(x)))^m$ con $\alpha = m/n$; per cui:
- se $n$ è un numero pari, $Dom(f(x)) : f(x) >= 0 \if \alpha > 0 \or Dom(f(x)) : f(x) > 0 \if \alpha < 0$;
- se $n$ è un numero dispari, $Dom(f(x)) : f(x) \in \RR \if \alpha > 0 \or Dom(f(x)) : f(x) != 0 \if \alpha < 0$, dico bene?
Non capisco invece che ragionamento seguire per esponenti irrazionali, come $\pi$, appunto non esprimibili come frazioni.
Grazie in anticipo!
Se $\alpha \in \QQ$, dalle proprietà delle potenze si ottiene che $f(x)^\alpha = (root(n)(f(x)))^m$ con $\alpha = m/n$; per cui:
- se $n$ è un numero pari, $Dom(f(x)) : f(x) >= 0 \if \alpha > 0 \or Dom(f(x)) : f(x) > 0 \if \alpha < 0$;
- se $n$ è un numero dispari, $Dom(f(x)) : f(x) \in \RR \if \alpha > 0 \or Dom(f(x)) : f(x) != 0 \if \alpha < 0$, dico bene?
Non capisco invece che ragionamento seguire per esponenti irrazionali, come $\pi$, appunto non esprimibili come frazioni.
Grazie in anticipo!
Risposte
Ti ringrazio per il link, avevo cercato ma evidentemente non abbastanza bene.
Ad ogni modo ho capito che non essendo possibile determinare se un esponente irrazionale sia pari o dispari, non è possibile determinare il segno dell'immagine per argomenti negativi, giusto? Quindi si elimina il problema considerando soltanto i valori positivi, dico bene?
Ad ogni modo ho capito che non essendo possibile determinare se un esponente irrazionale sia pari o dispari, non è possibile determinare il segno dell'immagine per argomenti negativi, giusto? Quindi si elimina il problema considerando soltanto i valori positivi, dico bene?
Mammamia, gio, quel vecchio thread è terribile!
Ad ogni buon conto, la definizione della potenza ad esponente reale viene data a partire da quella di esponente razionale. Tale potenza è definita per argomenti $>=0$ se l'esponente è $>0$, per argomenti $>0$ se l'esponente è $<0$.[nota]Non fare l'errore di confondere le potenze ad esponente razionale con le radici. Sono cose un po' diverse.[/nota]
Per questo motivo, la potenza ad esponente reale $x^alpha$ è definita per $x >= 0$ se $alpha >0$, per $x > 0$ se $alpha < 0$.
Ad ogni buon conto, la definizione della potenza ad esponente reale viene data a partire da quella di esponente razionale. Tale potenza è definita per argomenti $>=0$ se l'esponente è $>0$, per argomenti $>0$ se l'esponente è $<0$.[nota]Non fare l'errore di confondere le potenze ad esponente razionale con le radici. Sono cose un po' diverse.[/nota]
Per questo motivo, la potenza ad esponente reale $x^alpha$ è definita per $x >= 0$ se $alpha >0$, per $x > 0$ se $alpha < 0$.
Grazie per il chiarimento. Non capisco però dov'è l'errore nell'affermare che $f(x)^\alpha = (root(n)(f(x)))^m, \alpha = m/n$, da cui derivano anche gli errori che ho commesso nella valutazione del dominio. Algebricamente l'equazione suindicata è verificata, dove mi perdo?
Dunque...
premetto che non ho la preparazione di gugo e di conseguenza potrei esprimermi in modo non preciso, spero che qualcuno intervenga se dico castronerie... (ringrazio in anticipo chi lo farà)
ciò detto
se devi estrarre una radice (che l'esponente sia pari o dispari poco importa) il radicando DEVE essere $>=0$
quando elevi un numero a potenza la base deve essere positiva se l'esponente è un numero reale
nel caso in cui l'esponente sia un numero razionale positivo non hai nessun problema se la base è 0
es $0^(2/3)=0$
dobbiamo invece evitare che la base sia 0 se l'esponente è negativo
Torna?
premetto che non ho la preparazione di gugo e di conseguenza potrei esprimermi in modo non preciso, spero che qualcuno intervenga se dico castronerie... (ringrazio in anticipo chi lo farà)
ciò detto
se devi estrarre una radice (che l'esponente sia pari o dispari poco importa) il radicando DEVE essere $>=0$
quando elevi un numero a potenza la base deve essere positiva se l'esponente è un numero reale
nel caso in cui l'esponente sia un numero razionale positivo non hai nessun problema se la base è 0
es $0^(2/3)=0$
dobbiamo invece evitare che la base sia 0 se l'esponente è negativo
Torna?
Mi trovo con tutto tranne che con la seguente affermazione:
Ciò dovrebbe valere esclusivamente nel caso in cui l'esponente sia una variabile, poiché per basi negative si potrebbero avere immagini nel campo dei complessi (es. $f(x)^g(x)$ con $f(x) = -1 \^^ g(x) = 1/2$), dico bene?
Quindi, in merito a quanto detto nel primo post, se $\alpha$ è una costante valgono le condizioni da me indicate, in caso sia invece una variabile, si procede, per quanto appena affermato, seguendo le indicazioni di gugo82. La differenza è quindi tra $f(x)^g(x)$ e $f(x)^k$. Per esponenti irrazionali vale invece quanto detto circa l'indeterminabilità della parità o disparità dell'esponente, imponendo argomenti $>= 0$ per irrazionali positivi e $>0$ per irrazionali negativi, giusto?
Ma teoricamente, così facendo, non trascuro tutti quei risultati che seppur $f(x)$ risulti negativa abiterebbero nel campo dei reali? Ad esempio $-2^(1/3)$ è un risultato accettabile ma verrebbe in tal caso scartato poiché $f(x) = -2$ non verifica appunto le condizioni imposte dal dominio.
"gio73":.
quando elevi un numero a potenza la base deve essere positiva se l'esponente è un numero reale
Ciò dovrebbe valere esclusivamente nel caso in cui l'esponente sia una variabile, poiché per basi negative si potrebbero avere immagini nel campo dei complessi (es. $f(x)^g(x)$ con $f(x) = -1 \^^ g(x) = 1/2$), dico bene?
Quindi, in merito a quanto detto nel primo post, se $\alpha$ è una costante valgono le condizioni da me indicate, in caso sia invece una variabile, si procede, per quanto appena affermato, seguendo le indicazioni di gugo82. La differenza è quindi tra $f(x)^g(x)$ e $f(x)^k$. Per esponenti irrazionali vale invece quanto detto circa l'indeterminabilità della parità o disparità dell'esponente, imponendo argomenti $>= 0$ per irrazionali positivi e $>0$ per irrazionali negativi, giusto?
Ma teoricamente, così facendo, non trascuro tutti quei risultati che seppur $f(x)$ risulti negativa abiterebbero nel campo dei reali? Ad esempio $-2^(1/3)$ è un risultato accettabile ma verrebbe in tal caso scartato poiché $f(x) = -2$ non verifica appunto le condizioni imposte dal dominio.
C è qualcosa che mi sfugge. Pensavo parlassimo di funzioni reali. Puoi fare un esempio e ragioniamo su quello?
È cosi, mi riferisco a funzioni reali. Chiaramente però quando dici
Mi stanno sorgendo dubbi su quanto pensavo fosse più ovvio circa le condizioni di esistenza di funzioni semplici come potenze e radicali
.
"gio73":questo vale nel caso in cui l'esponente sia una variabile, proprio perché se l'esponente dovesse risultare pari nel caso in cui la base risultasse negativa il risultato abiterebbe in $\CC$, ti trovi? Tra l'altro non capisco questa tua affermazione:
quando elevi un numero a potenza la base deve essere positiva se l'esponente è un numero reale
"gio73":Le condizioni di esistenza di un radicale dispari non sono $x \in \RR$? Un radicale ad indice dispari ammette (in $\RR$) anche radicandi negativi. Perché dici poco importa che l'esponente sia pari o dispari?
se devi estrarre una radice (che l'esponente sia pari o dispari poco importa) il radicando DEVE essere $>=0$
Mi stanno sorgendo dubbi su quanto pensavo fosse più ovvio circa le condizioni di esistenza di funzioni semplici come potenze e radicali
.
Ci sono centinaia di post sull'argomento che ciclicamente ritorna ...
Siamo in campo reale quindi una potenza ad esponente razionale è definita solo per argomenti non negativi.
È una definizione, chiaro? Ovvero una convenzione, adottata da (quasi) tutti.
Il perché è semplice: i razionali (e i reali) non sono né pari né dispari quindi non puoi avere un'operazione che un po' funziona e un po' no a seconda dell'argomento (e se poi la vedi come una funzione allora l'argomento diventa variabile rendendo impossibile qualsiasi ragionamento)
L'estrazione di radice è una cosa diversa anche se spesso le due cose si considerano equivalenti.
La radice è definita solo per indici naturali. Anche questa è una definizione ovvero una convenzione ed in generale questa è la versione accettata dai più.
Più chiaro così?
Siamo in campo reale quindi una potenza ad esponente razionale è definita solo per argomenti non negativi.
È una definizione, chiaro? Ovvero una convenzione, adottata da (quasi) tutti.
Il perché è semplice: i razionali (e i reali) non sono né pari né dispari quindi non puoi avere un'operazione che un po' funziona e un po' no a seconda dell'argomento (e se poi la vedi come una funzione allora l'argomento diventa variabile rendendo impossibile qualsiasi ragionamento)
L'estrazione di radice è una cosa diversa anche se spesso le due cose si considerano equivalenti.
La radice è definita solo per indici naturali. Anche questa è una definizione ovvero una convenzione ed in generale questa è la versione accettata dai più.
Più chiaro così?
Chiarissimo. Hai riassunto tutto in poche righe, non credo ci sia altro da dire. Praticamente si tratta di definizioni, per cui eventuali ragionamenti contorti non hanno alcun senso. Grazie dell'intervento!
EDIT: Mi sorge però un altro dubbio. Tale "convenzione" vale soltanto per esponenti variabili (quindi funzioni) o anche per esponenti costanti? Per esempio, $f(x)^\pi$ è una funzione elevata ad un esponente costante irrazionale positivo. Seguendo quanto detto, il dominio sarebbe $f(x) >= 0$, giusto? Ma in teoria, non sarebbe $f(x) \in \RR$? In breve, si fa differenza tra esponente costante ed esponente variabile o si fanno le medesime considerazioni per entrambi? Inoltre, nell'eventualità in cui l'esponente variabile sia sempre positivo, esempio $f(x)^(x^2)$, il dominio coincide con $f(x) > 0$ o $f(x)>= 0$?
EDIT: Mi sorge però un altro dubbio. Tale "convenzione" vale soltanto per esponenti variabili (quindi funzioni) o anche per esponenti costanti? Per esempio, $f(x)^\pi$ è una funzione elevata ad un esponente costante irrazionale positivo. Seguendo quanto detto, il dominio sarebbe $f(x) >= 0$, giusto? Ma in teoria, non sarebbe $f(x) \in \RR$? In breve, si fa differenza tra esponente costante ed esponente variabile o si fanno le medesime considerazioni per entrambi? Inoltre, nell'eventualità in cui l'esponente variabile sia sempre positivo, esempio $f(x)^(x^2)$, il dominio coincide con $f(x) > 0$ o $f(x)>= 0$?
"Blowtorch":
Non capisco però dov'è l'errore nell'affermare che $f(x)^\alpha = (root(n)(f(x)))^m, \alpha = m/n$
L’errore è che l’uguaglianza $x^(m/n) = root(n)(x^m)$ vale solo se $x>=0$ (supponendo $m>0$).
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