Dominio funzione trigo-irrazionale-fratta-valore assoluto
Salve. Rieccomi qui. Sono di fronte a una funzione trigonometrica ad argomento irrazionale ad argomento fratto contenente un valore assoluto...
insomma sono di fronte ad una funzione che non ho mai fatto... quindi sono fermo al dominio
la funzione è questa.
$f(x) = arcsin sqrt((2x-1)/(|2x-1|+1))$
come devo fare?
io ho ipotizzato questo: la funzione arcsin è definita in [-1 ; 1] quindi devo fare distinguere due disequazioni $sqrt((2x-1)/(|2x-1|+1))> -1$ ed $sqrt((2x-1)/(|2x-1|+1))<1$
al che mi trovo di fronte a 2 disequazioni irrazionali fratte, che ora come ora non mi viene il lampo di genio e non so risolvere...
come devo fare? levare la radice elevando tutto al quadrato? in questo modo dovrei dividere queste due disequazioni in altre 4...
$((2x-1)/(|2x-1|+1))> \pm (-1)$ $uu$ $((2x-1)/(|2x-1|+1))< \pm1$
le quali equazioni poi per essere svolte vanno divise tra numeratore $>=0$ e denominatore $>0$, il quale denominatore contiene un valore assoluto, il primo 2 sistemi di 2 disequazioni l'uno, mentre il secondo 2 disequazioni
quindi da un dominio si passa a dover mettere ad unione 8 "sub-domini"?
ditemi che sto sbagliando altrimenti mi piglia male
insomma sono di fronte ad una funzione che non ho mai fatto... quindi sono fermo al dominio
la funzione è questa.
$f(x) = arcsin sqrt((2x-1)/(|2x-1|+1))$
come devo fare?
io ho ipotizzato questo: la funzione arcsin è definita in [-1 ; 1] quindi devo fare distinguere due disequazioni $sqrt((2x-1)/(|2x-1|+1))> -1$ ed $sqrt((2x-1)/(|2x-1|+1))<1$
al che mi trovo di fronte a 2 disequazioni irrazionali fratte, che ora come ora non mi viene il lampo di genio e non so risolvere...
come devo fare? levare la radice elevando tutto al quadrato? in questo modo dovrei dividere queste due disequazioni in altre 4...
$((2x-1)/(|2x-1|+1))> \pm (-1)$ $uu$ $((2x-1)/(|2x-1|+1))< \pm1$
le quali equazioni poi per essere svolte vanno divise tra numeratore $>=0$ e denominatore $>0$, il quale denominatore contiene un valore assoluto, il primo 2 sistemi di 2 disequazioni l'uno, mentre il secondo 2 disequazioni
quindi da un dominio si passa a dover mettere ad unione 8 "sub-domini"?
ditemi che sto sbagliando altrimenti mi piglia male
Risposte
La prima disequazione, i.e. quella con $> -1$ è banalmente vera data la non negatività della radice. Devi lavorare solo sulla seconda, elevando al quadrato ambo i membri e controllando che le soluzioni siano $>=1/2$, per l'esistenza della radice.
Giusto, la prima non avevo notato che era banale. La seconda non capisco su cosa devo ragionare: sul valore assoluto o su qualcos'altro? Comunque devo sempre fare 4 disequazioni differenti giusto?
$((2x-1)/((2x-1)+1))<= 1$ $uu$ $((2x-1)/((2x-1)+1))<= -1$ $uu$ $((2x-1)/((-2x+1)+1))<= 1$ $uu$ $((2x-1)/((-2x+1)+1))<= -1$
$((2x-1)/((2x-1)+1))<= 1$ $uu$ $((2x-1)/((2x-1)+1))<= -1$ $uu$ $((2x-1)/((-2x+1)+1))<= 1$ $uu$ $((2x-1)/((-2x+1)+1))<= -1$
Un consiglio, per accelerare l'analisi...
Come condizione di esistenza della radice si avrà:
$2x-1>=0$ cioè $x>=1/2$
Ora la frazione da analizzare sarà:
$(2x-1)/(|2x-1|+1)$ essendo il denominatore uguale al numeratore maggiorato di 1 sarà sempre <1...
ciao ciao!!
Come condizione di esistenza della radice si avrà:
$2x-1>=0$ cioè $x>=1/2$
Ora la frazione da analizzare sarà:
$(2x-1)/(|2x-1|+1)$ essendo il denominatore uguale al numeratore maggiorato di 1 sarà sempre <1...
ciao ciao!!
Perché vuoi fare quattro disequazioni?
Hai da risolvere $\sqrt{\frac{2x-1}{|2x-1|+1}}<1$: elevando al quadrato ha $\frac{2x-1}{|2x-1|+1}<1$ e data la positività del denominatore puoi moltiplicare per esso a destra e a sinistra ottenendo $2x-1<|2x-1|+1$ che è banalmente vera, poiché se $2x-1$ è negativo il RHS è positivo ma questo caso si esclude per l'esistenza della radice, se $2x-1$ è nullo il RHS è unitario, se $2x-1$ è positivo il RHS è maggiore di $1$.
P.S.
Battuto sul tempo mentre scrivevo
Hai da risolvere $\sqrt{\frac{2x-1}{|2x-1|+1}}<1$: elevando al quadrato ha $\frac{2x-1}{|2x-1|+1}<1$ e data la positività del denominatore puoi moltiplicare per esso a destra e a sinistra ottenendo $2x-1<|2x-1|+1$ che è banalmente vera, poiché se $2x-1$ è negativo il RHS è positivo ma questo caso si esclude per l'esistenza della radice, se $2x-1$ è nullo il RHS è unitario, se $2x-1$ è positivo il RHS è maggiore di $1$.
P.S.
Battuto sul tempo mentre scrivevo
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