Dominio funzione radice
Cari matematici, vi pongo un quesito a cui non sono riuscito a dare risposta:
Devo determinare il dominio della seguente funzione radice $ f(x)=sqrt((x^(2)-x-2)/(x-2)) $
Essendo di indice pari, devo porre l'argomento maggiore o uguale a 0, ovvero: $ (x^(2)-x-2)/(x-2)>= 0 $
RISOLVO LA DISEQUAZIONE, mettendo a sistema numeratore e denominatore:
Primo sistema
$ { ( x^(2)-x-2>= 0 ),( x-2> 0 ):} $ $ rArr $ $ { ( x<=-1uu x>=2 ),( x >2):} $ $ rArr $ $ S^(1) = {x in R | x>2} $
Se condo sistema
$ { ( x^(2)-x-2<= 0 ),( x-2< 0 ):} $ $ rArr $ $ { ( -1<=x<=2 ),( x<2):} $ $ rArr $ $ S^(2) = {x in R | -1<=x<2} $
L'insieme delle soluzioni è dato dall'unione delle soluzioni dei singoli sistemi: $ S=S^(1)uu S^(2)= {x in R | x>=-1, x != 2} $
Conclusione: la disequazione è verificata per $ x in S $ , dunque S non è altro che il dominio della funzione f.
In altri termini: $ dom f = {x in R | x>=-1, x != 2} $
QUESITO:
Confrontando il risultato ottenuto con il grafico della funzione, ho notato che per $ x=2 $ la funzione è definita, ma ciò come è possibile se ho specificato che $ x != 2 $ ?
Grazie in anticipo per le risposte
Devo determinare il dominio della seguente funzione radice $ f(x)=sqrt((x^(2)-x-2)/(x-2)) $
Essendo di indice pari, devo porre l'argomento maggiore o uguale a 0, ovvero: $ (x^(2)-x-2)/(x-2)>= 0 $
RISOLVO LA DISEQUAZIONE, mettendo a sistema numeratore e denominatore:
Primo sistema
$ { ( x^(2)-x-2>= 0 ),( x-2> 0 ):} $ $ rArr $ $ { ( x<=-1uu x>=2 ),( x >2):} $ $ rArr $ $ S^(1) = {x in R | x>2} $
Se condo sistema
$ { ( x^(2)-x-2<= 0 ),( x-2< 0 ):} $ $ rArr $ $ { ( -1<=x<=2 ),( x<2):} $ $ rArr $ $ S^(2) = {x in R | -1<=x<2} $
L'insieme delle soluzioni è dato dall'unione delle soluzioni dei singoli sistemi: $ S=S^(1)uu S^(2)= {x in R | x>=-1, x != 2} $
Conclusione: la disequazione è verificata per $ x in S $ , dunque S non è altro che il dominio della funzione f.
In altri termini: $ dom f = {x in R | x>=-1, x != 2} $
QUESITO:
Confrontando il risultato ottenuto con il grafico della funzione, ho notato che per $ x=2 $ la funzione è definita, ma ciò come è possibile se ho specificato che $ x != 2 $ ?
Grazie in anticipo per le risposte
Risposte
Ciao antoninodegregorio,
Benvenuto sul forum!
Beh, perché $x^2 - x - 2 = (x + 1)(x -2) $, che si semplifica con $x - 2$ a denominatore...
Benvenuto sul forum!
"antoninodegregorio":
Confrontando il risultato ottenuto con il grafico della funzione, ho notato che per $x=2$ la funzione è definita, ma ciò come è possibile
Beh, perché $x^2 - x - 2 = (x + 1)(x -2) $, che si semplifica con $x - 2$ a denominatore...
Se ho capito bene la domanda, non credo sia quello il problema ... l'OP dice che guardando il grafico la funzione è definita in $x=2$ ma questo è quello che crede di vedere perché è impossibile vedere un "buco" infinitesimo ...
È una delle situazioni che bisogna tenere presente quando si guarda un grafico ...
Cordialmente, Alex
È una delle situazioni che bisogna tenere presente quando si guarda un grafico ...
Cordialmente, Alex
Prova a scrivere su geogebra quella funzione e calcola il valore $f(0)$ e vedi se è definita...
Direi proprio di no
Occhio a non confiondere le funzioni con il loro grafico,e soprattutto mai fidarsi dei computer
Beh, perché x2−x−2=(x+1)(x−2), che si semplifica con x−2 a denominatore...
Direi proprio di no
Occhio a non confiondere le funzioni con il loro grafico,e soprattutto mai fidarsi dei computer
Direi $f(2)$ ...
Si certo, ho sbagliato
Ciao a tutti,
Mi sono reso conto di aver risposto frettolosamente e soprattutto che la mia risposta può essere stata equivocata, per cui giustamente sono stato "ripreso"...
Adesso provo a rimediare... Col mio post precedente intendevo semplicemente segnalare che si ha
$f(x) = sqrt((x^(2)-x-2)/(x-2)) = sqrt{frac{(x + 1)(x - 2)}{x-2}} $
il che non significa che la funzione $f(x) $ sia definita in $x = 2 $, anche perché è evidente che non lo è (basta sostituire $2$ al posto di $x$ per trovarsi subito di fronte ad un'indeterminazione del tipo $0/0 $). Quando però si è in questi casi in cui la funzione non è definita in un solo punto, ma è continua nel resto del suo dominio, ciò che tipicamente si fa è definire una nuova funzione $f^{\star}(x) $ in modo che sia continua nel dominio, e per fare questo si fa in modo che venga soddisfatta la definizione di continuità ponendo $f^{\star}(2) := lim_{x \to 2} f(x)$. Quindi si definisce la nuova funzione $f^{\star}(x) $ nel modo seguente:
$f^{\star}(x) := \{(f(x) , text{ se } x \ge - 1 \quad x \ne 2) , (sqrt{3}, text{ se } x = 2) :} $
Quest'ultima funzione, per costruzione, è definita e continua nel suo dominio $D = [- 1, +\infty) $
Ora, caro antoninodegregorio, per dirimere la questione servirebbe una tua risposta, perché sfortunatamente né il sottoscritto né gli altri che ti hanno risposto sanno di quale grafico stai parlando quando scrivi
per cui i casi possono essere almeno un paio:
1) stai effettivamente guardando il grafico di $f(x) $ e come dice giustamente Alex non ti sei accorto del
(e l'intento del mio post precedente voleva essere proprio quello di fartene accorgere non dal grafico, cosa praticamente impossibile...). In tal caso la funzione non è definita in $x = 2 $ per cui ciò che hai scritto
è falso;
2) stai guardando il grafico della funzione $f^{\star}(x)$ e questo spiegherebbe perché hai scritto
In tal caso non ti sei accorto del "buco" infinitesimo di cui scrive Alex semplicemente perché non c'è più ...
Mi sono reso conto di aver risposto frettolosamente e soprattutto che la mia risposta può essere stata equivocata, per cui giustamente sono stato "ripreso"...
Adesso provo a rimediare... Col mio post precedente intendevo semplicemente segnalare che si ha
$f(x) = sqrt((x^(2)-x-2)/(x-2)) = sqrt{frac{(x + 1)(x - 2)}{x-2}} $
il che non significa che la funzione $f(x) $ sia definita in $x = 2 $, anche perché è evidente che non lo è (basta sostituire $2$ al posto di $x$ per trovarsi subito di fronte ad un'indeterminazione del tipo $0/0 $). Quando però si è in questi casi in cui la funzione non è definita in un solo punto, ma è continua nel resto del suo dominio, ciò che tipicamente si fa è definire una nuova funzione $f^{\star}(x) $ in modo che sia continua nel dominio, e per fare questo si fa in modo che venga soddisfatta la definizione di continuità ponendo $f^{\star}(2) := lim_{x \to 2} f(x)$. Quindi si definisce la nuova funzione $f^{\star}(x) $ nel modo seguente:
$f^{\star}(x) := \{(f(x) , text{ se } x \ge - 1 \quad x \ne 2) , (sqrt{3}, text{ se } x = 2) :} $
Quest'ultima funzione, per costruzione, è definita e continua nel suo dominio $D = [- 1, +\infty) $
Ora, caro antoninodegregorio, per dirimere la questione servirebbe una tua risposta, perché sfortunatamente né il sottoscritto né gli altri che ti hanno risposto sanno di quale grafico stai parlando quando scrivi
"antoninodegregorio":
Confrontando il risultato ottenuto con il grafico della funzione, ho notato che per $x = 2 $ la funzione è definita
per cui i casi possono essere almeno un paio:
1) stai effettivamente guardando il grafico di $f(x) $ e come dice giustamente Alex non ti sei accorto del
"axpgn":
"buco" infinitesimo ...
(e l'intento del mio post precedente voleva essere proprio quello di fartene accorgere non dal grafico, cosa praticamente impossibile...). In tal caso la funzione non è definita in $x = 2 $ per cui ciò che hai scritto
"antoninodegregorio":
ho notato che per $x = 2 $ la funzione è definita
è falso;
2) stai guardando il grafico della funzione $f^{\star}(x)$ e questo spiegherebbe perché hai scritto
"antoninodegregorio":
ho notato che per $x = 2 $ la funzione è definita
In tal caso non ti sei accorto del "buco" infinitesimo di cui scrive Alex semplicemente perché non c'è più ...
Grazie a tutti per le risposte!! Accolgo come più esaustiva quella di pilloeffe.
Preciso che il grafico di cui parlo è quello disegnato dalla calcolatrice grafica GeoGebra, ottenuto dopo aver inserito la funzione.
Preciso che il grafico di cui parlo è quello disegnato dalla calcolatrice grafica GeoGebra, ottenuto dopo aver inserito la funzione.
Qualsiasi grafico della funzione che hai postato (cioè quella NON definita in $x=2$) tu stia guardando, non potrai MAI vedere quel "buco": è questo l'importante. Ma hai capito il perché di questo fatto?
Sì sì, dubbio chiarito. Grazie ancora.
"axpgn":
Qualsiasi grafico della funzione che hai postato (cioè quella NON definita in $x=2$) tu stia guardando, non potrai MAI vedere quel "buco": è questo l'importante. Ma hai capito il perché di questo fatto?
Sì è chiaro!
In realtà il problema posto non era ben formulato giacché dall'analisi del grafico si è erroneamente ritenuto (ma era facile cadere nell'inganno) che la funzione originaria non solo fosse definita in x=2, ma addirittura ivi continua. Da un esame meno frettoloso si poteva tuttavia facilmente dimostrare che il $ lim_(x -> 2)f(x)= sqrt(3) $; ne conseguiva che per ogni successione {Xn} $ rarr $ 2 appartenente a un intorno I del punto x=2 (escluso il punto stesso) doveva essere f(Xn) $ rarr $ $ sqrt(3) $. Alla luce di queste considerazioni, volendo azzardare, se si potesse disporre di una sorta di "microscopio elettronico" virtuale si osserverebbe che in un intorno piccolo quanto si vuole del punto x=2 , ove la funzione non è definita, (intorno così piccolo da non essere percepito osservando il grafico) i due rami della curva si avvicinano al punto (2,$ sqrt(3) $) senza mai raggiungerlo in quanto misteriosamente fagocitati dal "buco infinitesimale" .
Ciò che tuttavia rileva e che più interessa in questa sede è che il giovane matematico non ha archiviato e tanto meno rimosso la dissonanza cognitiva rilevata che ha, al contrario, posto all'attenzione della comunità scientifica la quale ha prontamente fornito competente riscontro, favorendo così nuovi apprendimenti. Ovviamente in attesa della prossima sfida. Buon lavoro!
.Ciò che tuttavia rileva e che più interessa in questa sede è che il giovane matematico non ha archiviato e tanto meno rimosso la dissonanza cognitiva rilevata che ha, al contrario, posto all'attenzione della comunità scientifica la quale ha prontamente fornito competente riscontro, favorendo così nuovi apprendimenti. Ovviamente in attesa della prossima sfida. Buon lavoro!
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