Dominio funzione "arcoseno"

[m.ar_co_lino]

Mi viene un dubbio riguardo questo esercizio:qual è il dominio di questa funzione?

\(\displaystyle arcsen\sqrt{1-\frac{ln(x)^2}{2}}\)

Istintivamente io dico \(\displaystyle -1

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Risposte

Noisemaker

7 feb 2013, 15:32

si be se la funzione è $\arcsin x$ allora il dominio è $-1\le x\le1$ ma se la funzionr è la tua il dominio sarà
\[-1\le\sqrt{1-\frac{\ln x^2}{2}}\le1\]

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amivaleo

7 feb 2013, 15:34

$arsin(x)$ ha quel dominio... ma la radice?
quando $1-\frac{ln(x)^2}{2}>0$? questo ti da delle condizioni sui valori di $x$ per i quali esiste la radice.
intersechi poi i due domini e trovi il dominio della funzione proposta

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m.ar_co_lino

7 feb 2013, 15:38

ma non dovrebbe essere una condizione a priori? tipo \(\displaystyle senf(x) \) è sempre e comunque compreso tra -1 e 1 indipendentemente da quello che c'è dentro...come può un arcoseno essere definito in \(\displaystyle e^{\sqrt2} \) se quel valore è circa 4?

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amivaleo

7 feb 2013, 15:56

allora:

l'arcoseno ha come dominio $[-1;1]$, questo significa che la $f$ in $\arsin(f(x))$ deve assumere solo valori compresi tra $-1$ e $1$.
la tua $f$ in questo caso è una radice. la radice ha un suo dominio: accetta solo argomenti maggiori di $0$.
quindi per prima cosa: quali $x$ stanno nel dominio della radice? quelli che nel tuo caso soddisfano $1-\frac{ln(x)^2}{2}>=0$, diciamo che sono tutti i valori dell'insieme $A$.

ora ti chiedo: dato che $y = \sqrt(1-\frac{ln(x)^2}{2})$ è ARGOMENTO dell'arcoseno, questi $y$ sono tutti nel dominio dell'arcoseno $[-1;1]$? devi cioè trovare per quali $x$ dell'insieme $A$, hai che $|y|<= 1$.

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[Noisemaker]

si be se la funzione è $\arcsin x$ allora il dominio è $-1\le x\le1$ ma se la funzionr è la tua il dominio sarà
\[-1\le\sqrt{1-\frac{\ln x^2}{2}}\le1\]

[amivaleo]

$arsin(x)$ ha quel dominio... ma la radice?
quando $1-\frac{ln(x)^2}{2}>0$? questo ti da delle condizioni sui valori di $x$ per i quali esiste la radice.
intersechi poi i due domini e trovi il dominio della funzione proposta

[m.ar_co_lino]

ma non dovrebbe essere una condizione a priori? tipo \(\displaystyle senf(x) \) è sempre e comunque compreso tra -1 e 1 indipendentemente da quello che c'è dentro...come può un arcoseno essere definito in \(\displaystyle e^{\sqrt2} \) se quel valore è circa 4?

[amivaleo]

allora:

l'arcoseno ha come dominio $[-1;1]$, questo significa che la $f$ in $\arsin(f(x))$ deve assumere solo valori compresi tra $-1$ e $1$.
la tua $f$ in questo caso è una radice. la radice ha un suo dominio: accetta solo argomenti maggiori di $0$.
quindi per prima cosa: quali $x$ stanno nel dominio della radice? quelli che nel tuo caso soddisfano $1-\frac{ln(x)^2}{2}>=0$, diciamo che sono tutti i valori dell'insieme $A$.

ora ti chiedo: dato che $y = \sqrt(1-\frac{ln(x)^2}{2})$ è ARGOMENTO dell'arcoseno, questi $y$ sono tutti nel dominio dell'arcoseno $[-1;1]$? devi cioè trovare per quali $x$ dell'insieme $A$, hai che $|y|<= 1$.