Dominio funzione integrale

[Cuppls1]

Salve a tutti,
ho qualche dubbio sul dominio delle funzioni integrali.Non capisco quando una funzione integrale non è definita, e ho qualche dubbio sull'integrabilità delle funzioni.
Ad esempio prendendo questa funzione integrale $F(x)=int_{1/2}^{x} 1/log(t) dt$ , so che il dominio di $f(x) = 1/log(t)$
è $(0,1)uu(1,+infty)$. Dal teorema fondamentale del calcolo so che se $f in R_[a,b]$(integrabile secondo Riemann) allora la funzione integrale è definita $F:[a,b]to RR$.
$R_[a,b] :={f:[a,b]toRR|f \text( è limitata e integrabile secondo Riemann in [a,b])}$ per definizione.
A questo punto mi sorgono dei dubbi sugli estremi in cui $f$ è integrabile,essendo non definita in zero e uno.
Come procedo per vedere dove è definita la funzione integrale?

[quantunquemente]

$ int_(0)^(1/2) lnt dt $ è sicuramente convergente perchè $ lim_(t -> 0^(+)) 1/lnt= 0 $
$ int_(1/2)^(1) 1/lnt dt $ è divergente perchè l'integrando nell'intervallo è una funzione monotona,ha sempre lo stesso segno ed è un infinito di ordine $1$ corrispondenza del valore $1$

[Cuppls1]

Ok , perciò la funzione integrale è definita in $[0,1)$ . Una domanda, il dominio di una funzione integrale è necessariamente un intervallo?
E precisamente l'intervallo che contiene l'intervallo di integrazione "noto"?