Dominio funzione in due variabili
Buongiorno,
Calcolando il dominio di questa funzione mi sono bloccato su un passaggio probabilmente molto stupido.
$f(x,y)=(x-(1-x^2-y^2)^(1/2))^(1/2)$
Le condizioni da imporre sono:
1) $-x^2-y^2≥-1$
2) $x-(1-x^2-y^2)^(1/2)≥0$
Il problema me lo da la seconda condizione perchè mi blocco nel risolverla,
una volta che arrivo a $x≥(1-x^2-y^2)^(1/2)$ come vado avanti?
Mi verrebbe da fare $x^2≥1-x^2-y^2$ ma non credo proprio sia corretto.
Mi spiegate i passaggi per risolverla? Grazie
Calcolando il dominio di questa funzione mi sono bloccato su un passaggio probabilmente molto stupido.
$f(x,y)=(x-(1-x^2-y^2)^(1/2))^(1/2)$
Le condizioni da imporre sono:
1) $-x^2-y^2≥-1$
2) $x-(1-x^2-y^2)^(1/2)≥0$
Il problema me lo da la seconda condizione perchè mi blocco nel risolverla,
una volta che arrivo a $x≥(1-x^2-y^2)^(1/2)$ come vado avanti?
Mi verrebbe da fare $x^2≥1-x^2-y^2$ ma non credo proprio sia corretto.
Mi spiegate i passaggi per risolverla? Grazie
Risposte
Il sistema di disequazioni che hai impostato è corretto. Andando avanti ottieni
$\{(x^2+y^2<=1 \quad\quad \text{(a)} ),(\sqrt(1-x^2-y^2)<=x\quad\text{(b)}),():}$
La cosa "problematica" può essere la seconda disequazione $\text{(b)}$, che è una disequazione irrazionale. Essa è equivalente a
$\text{(b)}:\{(x>=0),(1-x^2-y^2>=0),(1-x^2-y^2<=x^2):}$ $ $ $->$ $ $ $\{(x>=0 \quad\quad \text{(primo e quarto quadrante)} ),(x^2+y^2<=1\quad\quad \text{(parte interna di una circonferenza)} ),(x^2/(\sqrt(1/2))^2+y^2>=1 \quad\quad \text{(parte esterna di un'ellisse)} ):}$
Quindi vedi che $\text{(a)}$ è compresa $\text{(b)}$. Ora non è che si debba risolvere! Il dominio della funzione è
$D_{f}=\{(x,y) \in RR^2 : \{x>=0\} nn \{x^2+y^2<=1\} nn \{2 x^2+y^2>=1\} \}$
$\{(x^2+y^2<=1 \quad\quad \text{(a)} ),(\sqrt(1-x^2-y^2)<=x\quad\text{(b)}),():}$
La cosa "problematica" può essere la seconda disequazione $\text{(b)}$, che è una disequazione irrazionale. Essa è equivalente a
$\text{(b)}:\{(x>=0),(1-x^2-y^2>=0),(1-x^2-y^2<=x^2):}$ $ $ $->$ $ $ $\{(x>=0 \quad\quad \text{(primo e quarto quadrante)} ),(x^2+y^2<=1\quad\quad \text{(parte interna di una circonferenza)} ),(x^2/(\sqrt(1/2))^2+y^2>=1 \quad\quad \text{(parte esterna di un'ellisse)} ):}$
Quindi vedi che $\text{(a)}$ è compresa $\text{(b)}$. Ora non è che si debba risolvere! Il dominio della funzione è
$D_{f}=\{(x,y) \in RR^2 : \{x>=0\} nn \{x^2+y^2<=1\} nn \{2 x^2+y^2>=1\} \}$
Grazie mille ad entrambi! 
Unica cosa: come facevo a riconoscere l'ellisse?? Avrei detto fosse una circonferenza..
Io in generale so che per distinguere che tipo di conica ho davanti si fa così:
http://www.ripmat.it/mate/d/dd/ddb.html
Ecco.. ma come distinguo la circonferenza dall'ellisse?
Mi date per favore un metodo pratico che posso adattare ad ogni situazione??
Vi ringrazio
Unica cosa: come facevo a riconoscere l'ellisse?? Avrei detto fosse una circonferenza..
Io in generale so che per distinguere che tipo di conica ho davanti si fa così:
http://www.ripmat.it/mate/d/dd/ddb.html
Ecco.. ma come distinguo la circonferenza dall'ellisse?
Mi date per favore un metodo pratico che posso adattare ad ogni situazione??
Vi ringrazio
Grazie
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