Dominio Funzione
Salve!!
Ho questa funzione $(4log^2 x-1)^pi$
Dovrebbe essere la soluzione di questo sistema :
$4log^2 x-1 >0$
$x-1>0$
il problema è ke non ricordo come risolvere la prima disequazione.
mi date una mano?? Grazie!!
Ho questa funzione $(4log^2 x-1)^pi$
Dovrebbe essere la soluzione di questo sistema :
$4log^2 x-1 >0$
$x-1>0$
il problema è ke non ricordo come risolvere la prima disequazione.
mi date una mano?? Grazie!!
Risposte
Se ti è più comodo puoi porre $t = log(x)$ e risolvere $4 t^2 - 1 > 0$. Poi vai a risostituire.
"juelz92":Ma l'argomento del logaritmo è $x$ oppure $x-1$?
Ho questa funzione $(4log^2 x-1)^pi$
Quale delle due è vera?
1) $f(x)= (4* [log^2 (x)] -1)^pi$
oppure
2) $f(x)= (4* log^2(x-1))^pi$
"Gi8":Ma l'argomento del logaritmo è $x$ oppure $x-1$?
[quote="juelz92"]Ho questa funzione $(4log^2 x-1)^pi$
Quale delle due è vera?
1) $f(x)= (4* [log^2 (x)] -1)^pi$
oppure
2) $f(x)= (4* log^2(x-1))^pi$[/quote]
la seconda!! ^^
sul libro mi dà questo risultato :
$|0,1/sqrte|uu|sqrte, +oo|$
vorrei capire perchè!
$|0,1/sqrte|uu|sqrte, +oo|$
vorrei capire perchè!
Bene, la funzione è questa: $f(x)= (4* log^2(x-1))^pi$
Come dicevi tu, devono valere:
a) $x-1>0$
b) $4*log^2 (x-1)>0$
La soluzione di a) è immediata.
La soluzione di b) è altrettanto immediata:
Come dicevi tu, devono valere:
a) $x-1>0$
b) $4*log^2 (x-1)>0$
La soluzione di a) è immediata.
La soluzione di b) è altrettanto immediata:
[*:3o80sjmz]$4$ è una costante positiva, [/*:m:3o80sjmz]
[*:3o80sjmz]$log^2(x-1)$ (che, ricordo, è un altro modo di scrivere $[log(x-1)]^2$) è sempre positivo (essendo un quadrato) tranne quando $log(x-1)=0$[/*:m:3o80sjmz][/list:u:3o80sjmz]
Ora, quando è che $log(x-1)=0$? Quando $x-1=1$, cioè quando $x=2$
Bisogna pertanto escludere $x=2$
La soluzione finale è dunque $x>1 ^^ x!=2$
Sinceramente non capisco perchè la souzione del libro sia quella che hai scritto.
Così, ad occhio, credo che quella sia la soluzione della funzione 1) del mio post precedente
Guardando meglio, sono riuscito ad arrivare alla soluzione che sta sul libro :
ponendo $t=logx$ ho $4t^2-1$, ossia $t<-1/2$ , $t>1/2$, quindi sostituendo trovo $logx <$ $-1/2$ e $logx>$ $1/2$, il che equivale a $xe^(1/2)$, da ciò trovo che $D= |0,1/sqrte|uu|sqrte, +oo|$
ponendo $t=logx$ ho $4t^2-1$, ossia $t<-1/2$ , $t>1/2$, quindi sostituendo trovo $logx <$ $-1/2$ e $logx>$ $1/2$, il che equivale a $x
La sostituzione è sbagliata, perchè se fosse $ t = logx $ allora la seconda disequazione NON può essere $ 4t^2-1 $ perchè la quantità che hai sostituito è, invece, $ log(x-1) $ .
"juelz92":la seconda!! ^^[/quote]La seconda un tubo
[quote="Gi8"]Quale delle due è vera?
1) $f(x)= (4* [log^2 (x)] -1)^pi$
oppure
2) $f(x)= (4* log^2(x-1))^pi$
Riguardo invece a quest'altra funzione :
$f(x)=arcsin(3^x-sqrt(9^x-3^(x+1)+2))$
impongo
$sqrt(9^x-3^(x+1)+2)\geq 0$
$-1 leq 3^x-sqrt(9^x-3^(x+1)+2) leq 1$
la prima disequazione la risolvo in questo modo :
$3^(2x) - 3^(x+1) geq -2$
$3^(2x) (1 - 3^(-x+1)) geq -2$
$3^(2x) geq -2$ Sempre Verificata
$1 - 3^(-x+1) geq 0$
$3^(-x+1) leq 1 $ -----> $y=-x+1$
$3^y leq 1$ $hArr y leq 0$
$-x+1 leq 0$ ---> $x geq 1$
Riguardo alla seconda invece :
$sqrt(9^x-3^(x+1)+2 ) leq 3^x+1$
poichè $3^(x+1) geq 0 $ é sempre vera
posso procedere elevando entrambi i membri al quadrato
$9^x-3^(x+1)+2 leq (3^x+1)^2$
poi volevo sapere come devo procedere....^^
$f(x)=arcsin(3^x-sqrt(9^x-3^(x+1)+2))$
impongo
$sqrt(9^x-3^(x+1)+2)\geq 0$
$-1 leq 3^x-sqrt(9^x-3^(x+1)+2) leq 1$
la prima disequazione la risolvo in questo modo :
$3^(2x) - 3^(x+1) geq -2$
$3^(2x) (1 - 3^(-x+1)) geq -2$
$3^(2x) geq -2$ Sempre Verificata
$1 - 3^(-x+1) geq 0$
$3^(-x+1) leq 1 $ -----> $y=-x+1$
$3^y leq 1$ $hArr y leq 0$
$-x+1 leq 0$ ---> $x geq 1$
Riguardo alla seconda invece :
$sqrt(9^x-3^(x+1)+2 ) leq 3^x+1$
poichè $3^(x+1) geq 0 $ é sempre vera
posso procedere elevando entrambi i membri al quadrato
$9^x-3^(x+1)+2 leq (3^x+1)^2$
poi volevo sapere come devo procedere....^^
"Gi8":la seconda!! ^^[/quote]La seconda un tubo
[quote="juelz92"][quote="Gi8"]Quale delle due è vera?
1) $f(x)= (4* [log^2 (x)] -1)^pi$
oppure
2) $f(x)= (4* log^2(x-1))^pi$
[/quote]oops!! era la prima infatti! i'm sorry!! ^^
"TheDoubt":
La sostituzione è sbagliata, perchè se fosse $ t = logx $ allora la seconda disequazione NON può essere $ 4t^2-1 $ perchè la quantità che hai sostituito è, invece, $ log(x-1) $ .
Hai ragione!! errore mio! l'argomento del logaritmo era $x$
"juelz92":
$3^(2x) (1 - 3^(-x+1)) geq -2$
$3^(2x) geq -2$ Sempre Verificata
$1 - 3^(-x+1) geq 0$
Beh, \((-4)\cdot (-1)\geq -2\), ma né \(-4\geq -2\) né \(-1\geq 0\), quindi...
$(-4) (-1) geq -2$ sarebbe ?
"juelz92":
$(-4) (-1) geq -2$ sarebbe ?
Un controesempio al tuo (errato) ragionamento per risolvere la disequazione.
si ma così non mi fai capire dove sbaglio..
Va bene...
Allora vedi se riesci a capire quest'altro controesempio.
Voglio risolvere \(x^2\geq 4\).
Secondo il tuo ragionamento, visto che \(x^2=x\cdot x\), risolvere la disequazione \(x^2\geq 4\) equivale a risolvere le due disequazioni \(x\geq 4,\ x\geq 0\).
Ma ciò è assurdo.
Infatti i due problemi \(x^2\geq 4\) e \(\{ x\geq 4,\ x\geq 0\) (questo è un sistema, vero o "falso" che sia) hanno soluzioni diverse.
Allora vedi se riesci a capire quest'altro controesempio.
Voglio risolvere \(x^2\geq 4\).
Secondo il tuo ragionamento, visto che \(x^2=x\cdot x\), risolvere la disequazione \(x^2\geq 4\) equivale a risolvere le due disequazioni \(x\geq 4,\ x\geq 0\).
Ma ciò è assurdo.
Infatti i due problemi \(x^2\geq 4\) e \(\{ x\geq 4,\ x\geq 0\) (questo è un sistema, vero o "falso" che sia) hanno soluzioni diverse.
vabbè visto così è evidentemente sbagliato...come dovrei risolverla??
"juelz92":
Riguardo invece a quest'altra funzione :
$f(x)=arcsin(3^x-sqrt(9^x-3^(x+1)+2))$
impongo
$sqrt(9^x-3^(x+1)+2)\geq 0$
$-1 leq 3^x-sqrt(9^x-3^(x+1)+2) leq 1$
Il sistema da impostare è:
\[
\tag{1} \begin{cases}
9^x-3^{x+1}+2\geq 0\\
3^x-\sqrt{9^x-3^{x+1}+2}\leq 1\\
3^x-\sqrt{9^x-3^{x+1}+2}\geq -1
\end{cases} \quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
3^{2x}-3\ 3^x+2\geq 0\\
3^x-1\leq\sqrt{3^{2x}-3\ 3^x+2}\\
3^x+1\geq\sqrt{3^{2x}-3\ 3^x+2}
\end{cases}
\]
La prima disequazione (di secondo grado in \(t=3^x\)) fornisce \(3^x\leq 1 \text{ opp. } 3^x\geq 2\); la terza si eleva al quadrato senza problemi e diventa:
\[
3^{2x}+2\ 3^x+1\geq 3^{2x} -3\ 3^x+2 \quad \Rightarrow \quad 5\ 3^x \geq 1
\]
che fornisce \(3^x\geq 1/5\); mentre la seconda ha soluzioni sicuramente quando \(3^x-1<0\) (perché il primo membro risulta negativo, mentre il secondo è certamente non negativo), mentre se \(3^x-1\geq 0\) essa ha soluzioni solo se elevando al quadrato si trova:
\[
\begin{cases}
3^x-1\geq 0\\
3^{2x}-2\ 3^x+1\leq 3^{2x}-3\ 3^x+2
\end{cases} \quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
3^x-1\geq 0\\
3^x\leq 1
\end{cases}
\]
e si vede che questo sistema equivale a \(3^x=1\), ossia a \(x=0\).
Mettendo insieme i vari step, si vede che il sistema (1) equivale a:
\[
\begin{cases}
3^x\leq 1 \text{ opp. } 3^x\geq 2\\
x\leq 0\\
3^x\geq 1/5
\end{cases}
\]
che dovresti saper risolvere.
***
[OT, di carattere generale]
Ad ogni modo, per quanto rompiscatole, la risoluzione delle disequazioni è (ormai) un prerequisito per affrontare i corsi e gli esami universitari.
Gli studenti che escono dalle superiori non sanno nemmeno risolvere le disequazioni (spesso ho in aula studenti che hanno grosse difficoltà a risolvere persino \(x^2\leq 1\)), sarebbe meglio che colmassero le proprie lacune nelle prime settimane di corso (o anche meglio, prima di iscriversi all'università, in estate), perché non è pensabile studiare tutto a ridosso dell'esame.
Né tantomeno è pensabile che un esercitatore impieghi quattro o cinque lezioni su un totale di dieci, a risolvere disequazioni.
[/OT]
mi era sfuggito $3^(x+1)$..^^ Grazie mille!
scusami per il disturbo, ma volevo farti una domanda (stupida!) riguardo una semplice derivata.... ma la derivata di $e^(x-1)+e^(1-x) - 2$, non è uguale a $e^(x-1)+e^(1-x)$??
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