Dominio funzione
Potete aiutarmi con questa funzione?
è davvero importante
Ho la funzione f(x,y)=ln[(1-|x-y|)/(1-|x|)]
e non riesco a calcolare il suo dominio
Ho esaminato i quattro casi x-y>0 e x>0;x-y>0 e x<0;x-y<0 e x>0;x-y<0 e x<0
Alla fine ho unito le 4 soluzioni però non mi trovo con la soluzione...potreste darmi una mano?
[mod="Fioravante Patrone"]Bastava modificare il titolo dell'altro post.
Che, a questo punto, cancello, visto che questo è identico.
Già che ci sono, ti ricordo di usare MathML.
Avresti dovuto saperlo, visto che hai letto il regolamento del forum.
[/mod]
è davvero importante
Ho la funzione f(x,y)=ln[(1-|x-y|)/(1-|x|)]
e non riesco a calcolare il suo dominio
Ho esaminato i quattro casi x-y>0 e x>0;x-y>0 e x<0;x-y<0 e x>0;x-y<0 e x<0
Alla fine ho unito le 4 soluzioni però non mi trovo con la soluzione...potreste darmi una mano?
[mod="Fioravante Patrone"]Bastava modificare il titolo dell'altro post.
Che, a questo punto, cancello, visto che questo è identico.
Già che ci sono, ti ricordo di usare MathML.
Avresti dovuto saperlo, visto che hai letto il regolamento del forum.
[/mod]
Risposte
Ti rispondo giusto perchè mi pare che sia un po' che gira questo post, ma non lo facevo prima perchè la mia soluzione è grafica...non saprei come esprimere il risultato finale analiticamente in maniera formale.
Comunque deve essere:
$(1-|x-y|)/(1-|x|)>0$
Quindi ora studiamo solo quando è positivo il denominatore:
$1-(x-y)>0$ => $1-x+y>0$ => $y>x-1$
che vale per $x-y>0$ e vediamo il grafico...per ora abbiamo trovato che è positivo sopra la retta nera, ma la soluzione vale solo sotto la retta rossa.
Quindi lì in mezzo per ora è positivo!
[asvg]axes();
stroke="black";
plot("x-1");
stroke="red";
plot("x");[/asvg]
Poi si studia l'altro caso del numeratore:
$1-(y-x)>0$
che vale per $y>x$, cioè sopra la retta rossa, e la zona che ci interessa è compresa tra le rette disegnate qua sotto:
[asvg]axes();
stroke="black";
plot("x+1");
stroke="red";
plot("x");[/asvg]
Si uniscono le parti e viene, per il numeratore, che la zona positiva è questa tra le rette (rette escluse):
[asvg]axes();
stroke="black";
plot("x+1");
stroke="black";
plot("x-1");[/asvg]
Dallo studio del numeratore pare evidente che la zona di validità è quella tra queste altre 2 rette:
[asvg]axes();
stroke="black";
line([1,5],[1,-5]);
stroke="black";
line([-1,5],[-1,-5]);[/asvg]
Valutando i segni della sovrapposizione dei due risultati ottenuti fin'ora, risulta:
[asvg]axes();
path( [ [-5,5],[-1,5],[-1,0],[-5,-4],[-5,5] ] );
fill="red";
path( [ [4,5],[1,5],[1,2],[4,5] ] );
fill="red";
path( [ [5,-5],[1,-5],[1,0],[5,4],[5,-5] ] );
fill="red";
path( [ [-4,-5],[-1,-5],[-1,-2],[-4,-5] ] );
fill="red";
path( [ [-1,0],[1,2],[1,0],[-1,-2],[-1,0] ] );
fill="red";[/asvg]
Non so perchè non mi si colora la zona in alto a sinistra, comunque le parti le ho chiuse solo per colorarle (non sapevo come fare altrimenti) ma sono ovviamente aperte e vanno a infinito. Quelle rosse (compresa quella che non si è colorata) se non ho sbagliato dovrebbero essere le parti che verificano la positività dell'argomento del logaritmo. Le rette sono la zona che necessita di un po' più di attenzione perchè il caso in cui il denominatore sia nullo, tutto l'argomento tende a $+-oo$...l'importante è che tenda a $+oo$ e non $-oo$ perchè nel secondo caso $log(-oo)$ non esiste.
Comunque deve essere:
$(1-|x-y|)/(1-|x|)>0$
Quindi ora studiamo solo quando è positivo il denominatore:
$1-(x-y)>0$ => $1-x+y>0$ => $y>x-1$
che vale per $x-y>0$ e vediamo il grafico...per ora abbiamo trovato che è positivo sopra la retta nera, ma la soluzione vale solo sotto la retta rossa.
Quindi lì in mezzo per ora è positivo!
[asvg]axes();
stroke="black";
plot("x-1");
stroke="red";
plot("x");[/asvg]
Poi si studia l'altro caso del numeratore:
$1-(y-x)>0$
che vale per $y>x$, cioè sopra la retta rossa, e la zona che ci interessa è compresa tra le rette disegnate qua sotto:
[asvg]axes();
stroke="black";
plot("x+1");
stroke="red";
plot("x");[/asvg]
Si uniscono le parti e viene, per il numeratore, che la zona positiva è questa tra le rette (rette escluse):
[asvg]axes();
stroke="black";
plot("x+1");
stroke="black";
plot("x-1");[/asvg]
Dallo studio del numeratore pare evidente che la zona di validità è quella tra queste altre 2 rette:
[asvg]axes();
stroke="black";
line([1,5],[1,-5]);
stroke="black";
line([-1,5],[-1,-5]);[/asvg]
Valutando i segni della sovrapposizione dei due risultati ottenuti fin'ora, risulta:
[asvg]axes();
path( [ [-5,5],[-1,5],[-1,0],[-5,-4],[-5,5] ] );
fill="red";
path( [ [4,5],[1,5],[1,2],[4,5] ] );
fill="red";
path( [ [5,-5],[1,-5],[1,0],[5,4],[5,-5] ] );
fill="red";
path( [ [-4,-5],[-1,-5],[-1,-2],[-4,-5] ] );
fill="red";
path( [ [-1,0],[1,2],[1,0],[-1,-2],[-1,0] ] );
fill="red";[/asvg]
Non so perchè non mi si colora la zona in alto a sinistra, comunque le parti le ho chiuse solo per colorarle (non sapevo come fare altrimenti) ma sono ovviamente aperte e vanno a infinito. Quelle rosse (compresa quella che non si è colorata) se non ho sbagliato dovrebbero essere le parti che verificano la positività dell'argomento del logaritmo. Le rette sono la zona che necessita di un po' più di attenzione perchè il caso in cui il denominatore sia nullo, tutto l'argomento tende a $+-oo$...l'importante è che tenda a $+oo$ e non $-oo$ perchè nel secondo caso $log(-oo)$ non esiste.
Grazie per la risposta...ma cosa indica la retta rossa?grazie ancora tanto
Indica $x=y$...serve per limitare il campo di validità che nel primo caso è $x-y>0$ e nel secondo caso è $x-y<0$. Sono queste 2 infatti le ipotesi che fai per risolvere il numeratore a causa della presenza del valore assoluto...
Ok ho capito grazie davvero tanto per l'aiuto...spero di poter ricambiare un giorno
Di, nulla figurati...è stato un piacere! 
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