Dominio funzione

[GiuseppeZeta]

Salve a tutti.. .Ho questa funzione da studiare... $ (x-1)^(1/3)e^(-x^2/2) $ Wolfram Alpha mi dice che il dominio è x>=1 ma a me sembra definita per tutti i valori reali, inoltre anche il grafico è definito per x>=1... cos'è che sbaglio? o.O

[axpgn]

E' la solita questione: con esponente razionale la base deve essere maggiore di zero da cui $x>1$

[GiuseppeZeta]

ma la base essendo è.. non è sempre maggiore di 0?

[stormy1]

il problema non è l'esponenzialeno,alex si riferiva ad una "sottigliezza matematica"
mentre il dominio di $ y=root(3) (x) $ è $mathbbR$,quello di $y=x^(1/3)$ è $[0,+infty)$

[GiuseppeZeta]

Ma infatti lì l'esponente razionale è 1/3 non un 1/2 per cui non capisco come mai wolfram alpha debba portare x>1!

[stormy1]

te l'ho spiegato : non è questione di $1/2$ o $1/3$,qualsiasi sia l'esponente razionale,la funzione non è definita per $x<0$
le funzioni $ y=root(3)(x) $ e $y=x^(1/3)$ non sono uguali ,la prima è un prolungamento della seconda

[GiuseppeZeta]

Mi sento imbranato xD Vuoi dire che se metto il simbolo di radice o metto l'esponente cambia qualcosa?

[stormy1]

sì,a livello di funzioni
è indifferente invece scrivere $2^(1/3)$ o $root(3)(2)$
l'equivalenza vale solo per i numeri non negativi

[GiuseppeZeta]

Le lacune aumentano sempre più..

[GiuseppeZeta]

Mi puoi mandare qualche link dove parla di sta roba? Giuro che ho fatti tanti studi di funzioni, ma sbagliati a questo punto per non ponevo tale condizione di esistenza... Quando c'è una radice che non è pari per me esisteva per ogni x... quando avevo una radice dispari la funzione è sempre definita, ma a quanto pare... però come si giustifica ad esempio radice cubica di -1. Sappiamo che fa -1.. Non credo di aver afferrato la tua spiegazione!

[stormy1]

"Zumbo":Quando c'è una radice che non è pari per me esisteva per ogni x.

ed è così

ripeto il concetto
$y=root(3)x$ è definita in $mathbbR$
$y=x^(1/3)$ è definita in $[0,+infty)$

in pratica devi stare attento a come ti presentano la funzione

[@melia]

Sicuro?
Avrei detto che $y=x^(1/3)$ è definita in $(0,+infty)$

[stormy1]

ho controllato sul fiorenza-greco (non si sa mai )
ricordavo bene
$y=x^(-1/3)$ è definita in $(0,+infty)$

[GiuseppeZeta]

Grazie mille ad entrambi!

[GiuseppeZeta]

Graditissima. E' interessante questa questione, io non ero proprio a conoscenza!

[stormy1]

"TeM":Appena ho letto la discussione mi sono ricordato di un intervento di gugo82
al riguardo. Quindi, già che l'ho trovato, copio-incollo qui il suo intervento:

[quote="gugo82"]La questione è spinosa e non c'è uno standard comune.

Il problema è il seguente.
Poniamo \( \phi (x):=x^{1/3} \) ed \( f(x):=x^{m/n} \).
Posto che il dominio di \( \phi \) sia \( \mathbb{R} \), allora per ogni frazione del tipo \( \frac{m}{n} \) equivalente a \( \frac{1}{3} \), si dovrebbe avere \( \operatorname{Dom} f = \operatorname{Dom} \phi \), perché non vogliamo che il dominio della potenza dipenda dalla frazione che rappresenta la frazione r.m.t. \( \frac{1}{3} \).
Ora scegliamo \( \frac{m}{n} = \frac{2}{6} \); in tal caso, per le proprietà delle potenze potremmo scrivere:
\[ f(x) = \left( x^{1/6}\right)^2 \]
e quindi, ammettendo nel dominio di \( f \) elementi negativi, potremmo arrivare a scrivere cose del tipo:
\[ f(x) = \left( (-1)^{1/6}\right)^2 \]
con la potenza più interna che non ha alcun significato (perché \( x\mapsto x^{1/6} \) è definita per \( x\geq 0 \)).

Conseguentemente, se si vogliono conservare le proprietà delle potenze cui siamo abituati, si deve restringere il dominio delle potenze ad esponente razionale positivo sempre agli \( x\geq 0 \).
Conseguentemente alcuni autori introducono la notazione \( \sqrt[n]{x} \) per denotare la funzione radice aritmetica, definita in \( [0,\infty[ \) per \( n \) pari ed in \( \mathbb{R} \) per \( n \) dispari, in contrapposizione alla poteza ad esponente razionale \( x^{1/n} \) che è sempre e comunque definita in \( [0,\infty[ \).

Sperando sia cosa gradita, vi saluto. [/quote]

Ottimo