Dominio forme differenziali
Salve a tutti, volevo capire quando in $ R^2 $ un dominio nella forma differenziale si dice aperto connesso,aperto semplicemente connesso o aperto stellato. Io ho capito quando un insieme è connesso stellato o semplicemente connesso, ma non ho capito quando un un dominio è aperto. Magari oltre alla definizione matematica come posso capirlo dal disegno?
Risposte
Le risposte che cerchi fanno parte di una bella fetta di Geometria che si chiama Topologia. Se studi Matematica, stai pur certo che queste cose le vedrai.
Provo a farla breve. Tu mi chiedi: "Quando un sottoinsieme $A subset RR^2$ è aperto?".
Per risponderti ti devi chiedere: se io mi metto in un punto qualsiasi di $A$ (qualsiasi!) posso muovermi un po' da questo punto senza uscire da $A$? In altre parole, ho un po' di spazio per spostarmi? Se la risposta a questa domanda è affermativa per ogni punto di $A$, allora $A$ è aperto. Altrimenti, $A$ non è aperto.
Ti invito a riflettere dapprima in dimensione 1 (la definizione è praticamente la stessa): sapresti giustificare perchè un intervallo del tipo $(a,b)$ si chiama aperto? E che mi dici di $(a,b]$?
Nel piano, l'insieme dei punti tali che $x^2+y^2=1$ è aperto? E $x^2+y^2<1$? E ancora $x^2+y^2<=1$?
Provo a farla breve. Tu mi chiedi: "Quando un sottoinsieme $A subset RR^2$ è aperto?".
Per risponderti ti devi chiedere: se io mi metto in un punto qualsiasi di $A$ (qualsiasi!) posso muovermi un po' da questo punto senza uscire da $A$? In altre parole, ho un po' di spazio per spostarmi? Se la risposta a questa domanda è affermativa per ogni punto di $A$, allora $A$ è aperto. Altrimenti, $A$ non è aperto.
Ti invito a riflettere dapprima in dimensione 1 (la definizione è praticamente la stessa): sapresti giustificare perchè un intervallo del tipo $(a,b)$ si chiama aperto? E che mi dici di $(a,b]$?
Nel piano, l'insieme dei punti tali che $x^2+y^2=1$ è aperto? E $x^2+y^2<1$? E ancora $x^2+y^2<=1$?
$ x^2+y^2=1 $ non è aperto, $ x^2 + y^2 <= 1 $ non è aperto perchè la circonferenza è compresa, però vale lo stesso definizione che mi hai dato o sbaglio? 
mentre la seconda è aperto.
mentre la seconda è aperto.
"jfet":
$ x^2+y^2=1 $ non è aperto, $ x^2 + y^2 <= 1 $ non è aperto perchè la circonferenza è compresa, però vale lo stesso definizione che mi hai dato o sbaglio?
Nel caso con $\le$ ti pare che la definizione data da paolo valga PER TUTTI i punti?
$ <= $ non vale per tutti i punti quindi la definizione non vale? mentre per gli altri ho risposto esatto giusto? Quindi qualsiasi figura basta vedere se sono compresi o meno.
Non capisco perchè il dominio dell'ellisse $ 36-4x^2-9y^2 >= 0 $ è un aperto semplicemente connesso?? Come fa ad essere semplicemente connesso se è presente un buco all'interno del dominio, poi vale che è aperto nonostante la fronteria sia inclusa nel dominio?
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