Dominio forma normale edo
salve a tutti,avrei un dubbio(forse un po'banale):
quando mi si presenta la mia edo ordinaria in forma del tipo $ y^n= F(y^(k-1),y(k-2),..,y,x) $ come si trova il dominio di F? ad esempio se ho $F(y',x} = y'+3x$ qual'è il dominio? perchè il mio dubbio è che il dominio di questa funzione dipende dalla y' che scelgo e quindi non posso determinarlo a priori. Vorrei dei chiarimenti,grazie infinite
quando mi si presenta la mia edo ordinaria in forma del tipo $ y^n= F(y^(k-1),y(k-2),..,y,x) $ come si trova il dominio di F? ad esempio se ho $F(y',x} = y'+3x$ qual'è il dominio? perchè il mio dubbio è che il dominio di questa funzione dipende dalla y' che scelgo e quindi non posso determinarlo a priori. Vorrei dei chiarimenti,grazie infinite
Risposte
"lori nobili":
... edo ordinaria in forma del tipo $ y^n= F(y^(k-1),y(k-2),..,y,x) $ come si trova il dominio di F? ad esempio se ho $F(y',x} = y'+3x$ qual'è il dominio?
seguo il post perché ho il tuo stesso dubbio!
@gugo82 riusciresti ad aiutarci?
Diciamo che la EDO (in forma normale) è $y^(\prime \prime) (x) = y^\prime (x) + 3x$.
Cercate di ragionare in generale, rispondendo a queste domande.
Come si scrive la più generale EDO (in forma normale) del secondo ordine?
Il secondo membro da quante e quali variabili dipende?
Il dominio del secondo membro (e quindi della EDO) è un sottoinsieme di quale spazio ambiente?
Detto ciò, cercate di applicare quanto avete detto alla EDO in questione, cioè $y^(\prime \prime) (x) = y^\prime (x) + 3x$.
Il secondo membro da quante e quali variabili dipende?
Il dominio del secondo membro è un sottoinsieme di quale spazio ambiente?
Quel è il dominio della EDO?
Provate.
P.S.: Qual è la definizione di EDO?
Cercate di ragionare in generale, rispondendo a queste domande.
Come si scrive la più generale EDO (in forma normale) del secondo ordine?
Il secondo membro da quante e quali variabili dipende?
Il dominio del secondo membro (e quindi della EDO) è un sottoinsieme di quale spazio ambiente?
Detto ciò, cercate di applicare quanto avete detto alla EDO in questione, cioè $y^(\prime \prime) (x) = y^\prime (x) + 3x$.
Il secondo membro da quante e quali variabili dipende?
Il dominio del secondo membro è un sottoinsieme di quale spazio ambiente?
Quel è il dominio della EDO?
Provate.
P.S.: Qual è la definizione di EDO?
"gugo82":
Diciamo che la EDO (in forma normale) è $y^(\prime \prime) (x) = y^\prime (x) + 3x$.
Cercate di ragionare in generale, rispondendo a queste domande.
Come si scrive la più generale EDO (in forma normale) del secondo ordine?
Il secondo membro da quante e quali variabili dipende?
Il dominio del secondo membro (e quindi della EDO) è un sottoinsieme di quale spazio ambiente?
Detto ciò, cercate di applicare quanto avete detto alla EDO in questione, cioè $y^(\prime \prime) (x) = y^\prime (x) + 3x$.
Il secondo membro da quante e quali variabili dipende?
Il dominio del secondo membro è un sottoinsieme di quale spazio ambiente?
Quel è il dominio della EDO?
Provate.
P.S.: Qual è la definizione di EDO?
chiaramente il secondo membro dipende da due variabili. Ma il mio dubbio e proprio questo: la y' è una funzione di x e quindi trovare il dominio della f dipenderebbe dalla $y'(x)$ in questione oppure il dominio(facciamo il caso della funzione che mi hai indicato) sono le coppie $(x,y) € R^2$ tali che la $f$ è definita? In questo caso sarebbe tutto R2. Il mio dubbio principale sta proprio nel fatto di considerare $y'$ una funzione di $x$ oppure un numero generico appartenente a $R$ (in questo caso $R$ chiaramente). Spero di essere stato chiaro
No.
Guarda bene.
Secondo te ho consigliato di ragionare prima in generale per farti perdere tempo?
Guarda bene.
Secondo te ho consigliato di ragionare prima in generale per farti perdere tempo?
"gugo82":
1_ Come si scrive la più generale EDO (in forma normale) del secondo ordine?
2_ Il secondo membro da quante e quali variabili dipende?
3_ Il dominio del secondo membro (e quindi della EDO) è un sottoinsieme di quale spazio ambiente?
...
4_ Qual è la definizione di EDO?
$ 1 -> y'' = f(x, y, y')$
$ 2 ->$ dipende da tre variabili, la variabile indipendente della funzione che sto cercando, la funzione che sto cercando e la derivata della funzione che to cercando
$3 ->$ A questa non so proprio rispondere
$4 ->$ Sia $f(x)$ una funzione definita su un intervallo $I sube RR$. Un’equazione
differenziale ordinaria è una equazione che coinvolge $f$ ed un certo numero di sue derivate
e vale per ogni $x in I$.
"gugo82":
No.
Guarda bene.
Secondo te ho consigliato di ragionare prima in generale per farti perdere tempo?
la edo in forma normale del secondo ordine si scrive cosi $y'' = f(y',y,x)$ quindi il secondo membro dipende da 3 variabili. Quindi nel caso di $y^(\prime \prime) (x) = y^\prime (x) + 3x$ il dominio è $R^3$? Vorrei proprio che rispondessi a questa domanda: la $y'$e la $y$ sono funzioni di $x$ e quindi trovare il dominio della $f$ dipenderebbe dalla $y'(x)$ e $y(x)$ in questione oppure il dominio(facciamo il caso della funzione che mi hai indicato) sono le coppie $(x,y,z)€R3$ tali che la f è definita?
La definizione di EDO di ordine $n$ in forma normale l'ho data qui.
Vista la definizione, la $f$ a secondo membro è sempre da interpretare come funzione di $n+1$ variabili: una è la $x$, variabile indipendente nella EDO, e le altre $n$ sono "occupate" da tutte le derivate successive di $y$, cioè $y^((0)) = y, y^\prime , ..., y^((n-1))$.
Nel caso in esame, $f(x,y,y^\prime) = 3x + y^\prime$ è una funzione definita in tutto $RR^3$.
Vista la definizione, la $f$ a secondo membro è sempre da interpretare come funzione di $n+1$ variabili: una è la $x$, variabile indipendente nella EDO, e le altre $n$ sono "occupate" da tutte le derivate successive di $y$, cioè $y^((0)) = y, y^\prime , ..., y^((n-1))$.
Nel caso in esame, $f(x,y,y^\prime) = 3x + y^\prime$ è una funzione definita in tutto $RR^3$.
"gugo82":
Il dominio del secondo membro è un sottoinsieme di quale spazio ambiente?
E' un sottoinsieme di $RR^(n+1)$, è corretto?
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